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世间万事不变中有变，变中亦有不变！年年有春夏秋冬四季，但年年有所不同，或春季更长或秋季更短，或夏天更热或冬天更冷，但支配其变化的因素往往又是不变的。 数学亦如此，既要关注由于题目细微变化所带来的数、形的变化，也要善于从变化中寻找不变的量、不变的关系。  2017年松江二模第25题 如图，已知Rt△ABC 中，∠ACB=90°，BC=2，AC=3，以点C为圆心、CB为半径的圆交AB于点D，过点A作AE∥CD，交BC延长线于点E.若点P是 CE延长线上一点，直线AP、CD交于点Q. 如果以点A为圆心，AQ为半径的圆与⊙C相切，求CP的长（经改编，选取最后一问）  解析 处理圆圆关系问题，关键要梳理三条信息：两圆半径与圆心距，就本题而言，圆C的半径=2，AC=3，如果设所求的CP长为x，则本题的关键是用x表示圆A的半径长AQ。  根据题意，重新画图，能初步判断何为定点。① 直角三角形ABC；② 以C为圆心BC为半径确定做圆交边AB于点D（点D是定点！）；③ 过点A做AE∥DC交BC延长线于点E（点E是定点）；④ 在CE延长线上取点P，联结PA并延长交CD延长线于点Q（点P、Q是动点）。 只要“定”就可以“求出”！如下图，由于DC=BC，所以AE=BE，设CE=x，在Rt△ACE中运用勾股定理列出方程：9 x^2=(2 x)^2，解得CE=x=5/4  继而根据A字型，即可表述出AQ的长。  随即根据AQ=1（外切），AQ=5（内切）解方程即可，最终由于外切的方程无解，只留下两圆内切时的解。  2017年青浦二模第25题 如图，已知扇形MON的半径为√2，∠MON=90° ，点B在弧MN上移动，联结BM，作OD⊥BM，垂足为点D，C为线段OD上一点，且OC=BM，联结BC并延长交半径OM于点A，设OA= x，∠COM的正切值为y． …… （2）求y关于x的函数关系式并写出定义域 （3）……  解析 本题笔者一开始竟然一筹莫展，“耻辱”地翻开答案，答案中给出的辅助线是：取AM的中点E，联结DE， 于是AM=√2-x，OE=(√2 x)/2， y=tan∠COM=DM:OD=(1/2)BM:OD =(1/2)OC:OD=(1/2)OA:OE =x/(√2 x) (0<x≤√2)  看到答案后，笔者虽然会做了，但更困惑于这条“神奇”的辅助线，难道仅仅是因为中点，加的中位线吗？直觉告诉笔者，本题有更大的秘密有待挖掘，于是笔者从重新标注条件着手，开始探索…… 本题对于∠COM而言，已经有了现成的直角三角形（Rt△ODM）， 所以tan∠COM=DM:OD=(1/2)BM:OD=(1/2)OC:OD， 其实要求的就是线段OD上的分点C，将线段OD分成了几比几？ 再看看周围，点D是线段BM的中点，OA:AM=x:(√2-x)，再排除干扰因素半圆和半径OB，问题的本质浮出水面（如下图）： 直线AB截△ODM，交边OM、OD和线段MD的延长线分别于点A、C、B，已知DB:BM=1:2,OA:AM=x:(√2-x)， 求OC:OD(用含有x的代数式表示）  这就是典型梅氏截线型，在上海教材中属于需要掌握的重点问题，通常可以通过十几种加平行线的方法解决，笔者仅在此列举三种比较便捷的方法。由此可见答案中的解法仅是十几种平行线添加法中的一种而已。 注：'梅氏截线型'是作者对于这类图形的个人称呼，因其背后“藏着”梅涅劳斯定理而得名，其本质描述的是直线截三角形三边（或其延长线），每条边上的分点到这条边的两个顶点的距离比之间的确定的数量关系，可通过定理或添加平行辅助线，知二求三。   其实这类型题目笔者之前多次撰文，但落脚点都在于归类整理这些问题的十多种解法，（可参考笔者之前的原创推文：一道普通比例线段问题的三种不同“玩法”）主要可分三类：运用梅涅劳斯定理、添加平行线、面积法（可能会用到消点法）。然而实际上如何从复杂的题目中发现梅氏截线型更为重要，笔者就此再举几道今年来上海中考和二模中类似的问题，供大家参考学习。 范例 1 2016年浦东中考模拟卷第25题 （当时被誉为“神题”） 第一步 补形 根据∠MON是45°和题目已有垂直关系可以补成两种不同的等腰直角三角形 第二步 剖析 本题有十几种解法，其中一类解法即可视其梅氏截线型，即△OPE被直线AD所截，继而通过添加平行线来处理。 2 2010年上海中考数学第25题 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°.半径为1的圆A与边AB相交于点D，与边AC相交于点E，连结DE并延长，与线段BC的延长线交于点P. （1）当…… （2）若CE=2，BD=BC，tan∠BPD的值； （3）…… 设BD=CB=x，在Rt△ABC中，已知AC=3，AD=1，通过AB^2=AC^2 BC^2，解方程得：x=4，于是可将此题第二问，视为△ABC被直线DA相截，其中已知AE:EC=1:2，AD:DB=1:4，求BP:CP，尔后就会有十几种平行线的添加方法供选择。 小结 以笔者看，数学的核心是推理、分析，数学的问题的本质是“定”！即在“纷繁复杂”的问题中寻求不变量和不变关系，而在几何中，最有效的探索方式就是画图与标图，通过画图能确定的点其背后往往就是不变量，通过标图发现直角三角形、相似三角形或梅氏截线型等，其内部蕴藏的就是不变关系，图便是几何的魂，抓住了图就抓住的几何教与学的关键！ 今天是上海数学中考日，草根在此预祝所有考生今天考试顺利，并在此声明，本文仅是我对今年二模压轴题研究的第二篇心得，并不代表本人对于今天考试的猜测，更多是与同行之间的研讨。若有家长考前看到此文后，需谨慎推荐给孩子阅读，以免影响孩子心绪。 |
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