参考文献: 信号完整性分析 "信息传输调制和噪声"P31, "傅立叶变换的数学再认识"及若干网上博客。
目录 信号分析方法概述 =================================
信号分析方法概述 通信的基础理论是信号分析的两种方法:1 是将信号描述成时间的函数,2是将信号描述成频率的函数。 也有用时域和频率联合起来表示信号的方法。时域、频域两种分析方法提供了不同的角度,它们提供的信息都是一样,只是在不同的时候分析起来哪个方便就用哪个。 思考: 时域中波形变换速度越快(上升时间越短),对应频域的频率点越丰富。
时域是真实世界,是惟一实际存在的域。因为我们的经历都是在时域中发展和验证的,已经习惯于事件按时间的先后顺序地发生。而评估数字产品的性能时,通常在时域中进行分析,因为产品的性能最终就是在时域中测量的。
时钟波形的两个重要参数是时钟周期和上升时间。 时钟周期就是时钟循环重复一次的时间间隔,通产用ns度量。时钟频率Fclock,即1秒钟内时钟循环的次数,是时钟周期Tclock的倒数。
Fclock=1/Tclock
上升时间与信号从低电平跳变到高电平所经历的时间有关,通常有两种定义。一种是10-90上升时间,指信号从终值的10%跳变到90%所经历的时间。这通常是一种默认的表达方式,可以从波形的时域图上直接读出。第二种定义方式是20-80上升时间,这是指从终值的20%跳变到80%所经历的时间。
时域波形的下降时间也有一个相应的值。根据逻辑系列可知,下降时间通常要比上升时间短一些,这是由典型CMOS输出驱动器的设计造成的。在典型的输出驱动器中,p管和n管在电源轨道Vcc和Vss间是串联的,输出连在这个两个管子的中间。在任一时间,只有一个晶体管导通,至于是哪一个管子导通取决于输出的高或低状态。 假设周期矩形脉冲信号f(t)的脉冲宽度为τ,脉冲幅度为E,重复周期为T,
频域最重要的性质是:它不是真实的,而是一个数学构造。时域是惟一客观存在的域,而频域是一个遵循特定规则的数学范畴。 正弦波是频域中唯一存在的波形,这是频域中最重要的规则,即正弦波是对频域的描述,因为时域中的任何波形都可用正弦波合成。这是正弦波的一个非常重要的性质。然而,它并不是正弦波的独有特性,还有许多其他的波形也有这样的性质。正弦波有四个性质使它可以有效地描述其他任一波形:
(1)时域中的任何波形都可以由正弦波的组合完全且惟一地描述。
(2)任何两个频率不同的正弦波都是正交的。如果将两个正弦波相乘并在整个时间轴上求积分,则积分值为零。这说明可以将不同的频率分量相互分离开。
(3)正弦波有精确的数学定义。
(4)正弦波及其微分值处处存在,没有上下边界。
使用正弦波作为频域中的函数形式有它特别的地方。若使用正弦波,则与互连线的电气效应相关的一些问题将变得更容易理解和解决。如果变换到频域并使用正弦波描述,有时会比仅仅在时域中能更快地得到答案。
而在实际中,首先建立包含电阻,电感和电容的电路,并输入任意波形。一般情况下,就会得到一个类似正弦波的波形。而且,用几个正弦波的组合就能很容易地描述这些波形,如下图2.2
所示:
图2.2 理想RLC电路相互作用的时域行为 频域的图如下?\\
时域与频域的互相转换 时域分析与频域分析是对模拟信号的两个观察面。时域分析是以时间轴为坐标表示动态信号的关系;频域分析是把信号变为以频率轴为坐标表示出来。一般来说,时域的表示较为形象与直观,频域分析则更为简练,剖析问题更为深刻和方便。 时域与频域的对应关系是:时域里一条正弦波曲线的简谐信号,在频域中对应一条谱线,即正弦信号的频率是单一的,其频谱仅仅是频域中相应f0频点上的一个尖峰信号。 按照傅里叶变换理论:任何时域信号,都可以表示为不同频率的正弦波信号的叠加。 1、正弦波时域信号是单一频率信号; 解释1: 初学者一个经常的困惑是:无法理解信号为何会有多个频率,加上许多书中的描述不够严谨,比如:语音信号的频率是在4k以下,是3~4千赫正弦波。 正确的解释是:一个信号有两种表示方法,时域和频域。在时域,信号只有周期,正是因为有了 傅立叶变换 ,人们才能理解到信号频域的概念。(先有傅立叶变换的结果才让你认识到声音信号里包含了某种频域的正弦波,它仅仅是声音信号里的一个分量.用你的眼睛你可能永远看不出这些幅度变动里包含了你所熟悉的3~4KHZ的正弦波!) 注:大家应牢记:频域最重要的性质是:它不是真实的,而是一个数学构造。频域实际上是时域信号进行傅立叶变换的数学结果。通过数学方法,可以更方便的观察到信号内含的信息、可以分解合成信号。
无线通信中传输资源包括了时间、频域、空间等。 时间比较好理解,就是:时间周期1发送符号1,时间周期2发送符号2.。,时域的波形可以用三角函数多项式表示,函数参数有:时间、幅度、相位。在载波传输中,载波信号由振荡器产生,它的时钟频率是固定的,倒数就是 时间周期。 频域比较难理解,按傅立叶分析理论,任何时域信号都对应了频域的若干频率分量(称为谐波)的叠加,频域的频率与时域的时钟频率不同。可以认为:时域不存在频率,只存在时间周期。信号处理与通信中所指的频率一般都是指 频域的频率分量。而每个频率分量都可从数学意义上对应时域的一个波形(称为谐波,基波是一种特殊的谐波,它的频率与时域波形的时钟频率相同) 。 因为载波一般都是正弦波,所以定义 信号在1秒内完成一个完整正弦波的次数就是信号的频率(以Hz为单位),即1Hz。 时间周期T=1/f。 设时域波形(图中的 合成波)的时间周期=T(如2秒),其时钟频率则为f0=1/2 Hz。那么基波的频率、周期与合成波一样。每个谐波之间频率间隔=基波频率。 而谐波1的频率f1=1/2+1/2=1Hz,周期T1=1。 谐波2的频率f2=1+1/2=3/2 Hz,周期T2=2/3。。。。 谐波8的频率f8=1/2+(1/2)*8=4.5Hz,周期T8=0.2222 在频域中,每个频率分量都有自己的幅度与相位。按谐波的频率、幅度、相位信息可以得到谐波所对应时域的波形。 将各谐波的时域波形叠加起来,即得到 时域中 合成波。
解释2: 时域信号的数据传输速率,常用 bps,如100Kbps,指1s内传输了100K bits的二进制数据。即:时域的传输效率。 按信息论,带宽越大,数据速率越高。
解释3: 为什么我们要用正弦曲线来代替原来的曲线呢?如我们也还可以用方波或三角波来代替呀,分解信号的方法是无穷的,但分解信号的目的是为了更加简单地处理原来的信号。用正余弦来表示原信号会更加简单,因为正余弦拥有原信号所不具有的性质:正弦曲线保真度。一个正弦曲线信号输入后,输出的仍是正弦曲线,只有幅度和相位可能发生变化,但是频率和波的形状仍是一样的。且只有正弦曲线才拥有这样的性质,正因如此我们才不用方波或三角波来表示。 注:此处仍要牢记:频域是数学构造,只要有助于我们分析信号,对应的数学方法 就是有用的。
------------------------- 傅立叶变换 原理 傅立叶变换 分类 根据原信号的不同类型,我们可以把傅立叶变换分为四种类别: 周期性连续信号 傅立叶级数(Fourier Series)
这四种傅立叶变换都是针对正无穷大和负无穷大的信号,即信号的的长度是无穷大的,我们知道这对于计算机处理来说是不可能的,那么有没有针对长度有限的傅立叶变换呢?没有。因为正余弦波被定义成从负无穷小到正无穷大,我们无法把一个长度无限的信号组合成长度有限的信号。 面对这种困难,方法是把长度有限的信号表示成长度无限的信号,可以把信号无限地从左右进行延伸,延伸的部分用零来表示,这样,这个信号就可以被看成是非周期性离解信号,我们就可以用到离散时域傅立叶变换的方法。 还有,也可以把信号用复制的方法进行延伸,这样信号就变成了周期性离解信号,这时我们就可以用离散傅立叶变换方法进行变换。这里我们要学的是离散信号,对于连续信号我们不作讨论,因为计算机只能处理离散的数值信号,我们的最终目的是运用计算机来处理信号的。
傅立叶原理表明:任何连续测量的时序或信号,都可以表示为不同频率的正弦波信号的无限叠加。而根据该原理创立的傅立叶变换算法利用直接测量到的原始信号,以累加方式来计算该信号中不同正弦波信号的频率、振幅和相位。
傅立叶级数的五个公式(周期性函数) 傅立叶(19世纪的法国人)认为:任何周期函数f(t)总是可以变成下面的傅立叶级数 它等价于下面的公式 (傅立叶公式2)
两个公式的关系是: 公式中a0,an、bn都是常数。AkCosWkt+BkSinWkt即时域信号的第k个频率分量对应的正弦波(即谐波)表示。an,bn也称为傅立叶系数。 时域的信号用f(t)表示,下面介绍这个信号如何转换到频域的表示方法。 因为三角函数间有正交关系,如下 1,两个不同三角函数的乘积在[-pi,+pi]上的定积分为0。即正交。
解释:上图中的x对应傅立叶公式中的时间参数t。pi可对应时间周期T。
首先:我们考虑如何对于 时域信号f(t) 分解出其中的各个子信号(子谐波):AkCosWkt+BkSinWkt。 然后可以得到各个谐波在频域的表示方法:频率W,幅度Cn、相位。这三项就是傅立叶变换的结果:频域信号表示 按上述的三角函数关系,要得到ak,就把f(t)乘以coswkt,并在整个周期内取积分。得 图中的an就是ak. 得到(下图中的an就是ak.)
根据AkCosWkt+BkSinWkt这个波形的表示方法可以推导出: 1, 就是这个正弦波的最大幅值(最大振幅)(也即幅值频谱图的y轴)。 2, 就是这个正弦波的相位。
经过简单的三角函数运算,可以得到傅立叶级数f(t)的另一个表达方式: (傅立叶公式3) 它可以更方便的计算出振幅 和相位 (分别对应 幅度谱与相位谱)
傅立叶级数f(t)的另一种表示方式是 复指数形式,它也是最简捷的表达方式。 (傅立叶公式4) 从上面的f(t)推导出 复指数形式 的过程略,基本思想是利用了欧拉公式e^jx = cos(x) + jsin(x) 及 解释:频域分量转成的时域信号都是复信号(含实部与虚部),虽然实际信号都是实的。 实际上信号的传输都用实信号,而接收信号的处理中则使用复信号。
三角函数 运算法则是: ,
复指数傅立叶级数公式(傅立叶公式4 ) 可以推导出三角函数形式
傅立叶公式5 另外,在 傅立叶公式4 中看起来出现了“负频率”,但实际上它们是不存在,只是数学的一种表示方法。 所以在 傅立叶公式5 中就消除了“负频率”
傅立叶积分(非周期性函数) 非周期性函数使用傅立叶积分来得出频谱。 因为这个函数总可以在时间间隔之外按其本身形状来重复,这里可使用傅立叶级数来计算频谱。而当时间间隔不断增大,在极限情况下就变为傅立叶积分。 则我们得到 非周期函数f(t) 的傅立叶积分表示方法f(t)。
非周期函数f(t)的时域、频域图 举例如下:
把F(w)的计算公式称为 傅立叶积分 公式。F(w)称为 f(t)的傅立叶变换。f(t)公式即傅立叶反变换公式。
振幅谱和相位谱的关系 上面的频谱图实际上是振幅谱,看不出相位与频率间的关系。 ,它随频率变化。 它们有奇怪的对称性。振幅谱是频率的偶对称函数。相位谱是频率的奇对称函数。 可以推导出:
即相位就是
解释:时域中的相位,与频域中的相位完全不同。 频域中相位是指各谐波的相位,它随频率而时间变化。 所以: 1,频域中完全看不出时间,只有谐波的各 频率、幅值、相位 。这些谐波在 非稳定信号中 可能并不会在所有时间中存在,这是另一个信号处理领域的问题。 2,时域信号中看不出频率,只有各谐波叠加后的信号。 时域信号的周期=各谐波信号中的最大周期,即基波的周期。频率也相当于基波的频率。相位则是各谐波叠加后形成(相位在时域与频域 没有固定的、可按公式计算出的关系)。 时域信号的一个周期中的 符号 包括了以下信号的叠加(且可通过正交分解出来): 一个基波在一个周期内的符号,一次谐波在2个周期内的符号,二次谐波在3个周期内的符号,三次谐波在4个周期内的符号。。。 在快速傅立叶变换中,因为时域抽样点必须是2的K次方,所以偶次谐波的幅值总为0,即不携带信息或空符号
功率谱 任意电压f(t)加到1欧电阻上的瞬时功率就是|f(t)|2
傅立叶变换推导出:时移原理与频移原理,对偶性质 傅立叶变换有两个重要的原理: 1,时间移位原理 将时域时间原点从t=0处移到t=t0处,则相当于频域F(w)的相移 ,即 2,频谱搬移原理 推导公式是: 在调制技术中,信号f(t)要调制到载波上产生的频率移动,即通过上述关系确立。
比如:先将一段音乐的离散时间信号做傅里叶变换(FFT),再将得到的频谱向高处搬移,最后做傅里叶反变换(IFFT),恢复到时域,听到的声音会比原来的声调高。
时间-频率 间的对应关系 对应关系1:时间变化速率(即时域信号的变化速率) 与 频谱 呈正比关系 时域信号波形中,振幅的变化构成整个信号的包络。 ,2A是最大振幅 上式经简单的三角运算后,得到 其频谱如下:
当原信息信号变化更快时(Wm增大),使得振幅调制后的信号也变化更快,边带频率(W0-Wm,W0+Wm)也更远的离开载波。 即:时间变化速率增加,频率也增高了(这点在 上升时间与带宽 关系中也可见)
对应关系2,时间周期T 与 频谱 呈反比关系 下面用 矩形脉冲序列 来深入讨论 时间-频率之间的关系。
它的频谱可以表示成
再写成
给出一个归一化的无量纲变数 ,则
函数 sinx/x 在x=0处有最大值,此处sinx->x, (sinx/x)->1,而当x->无穷大时,它->0 因为n是离散的,所以Wn也取离散值(W1=2pi/T的各谐波),所以 归一化参数x也是离散点,但Cn的包络无疑与上图一致。
虽然周期函数包括有基本频率的所有整数倍的频率分量,但在较高频率上,振幅的包络减小。并且基本周期T越小(即每秒的脉冲数增多),频率谱线越移越开。 当函数变化增快(T减小)时,在较高频率范围内所包含的能量所占的比重将增大。
对应关系3:脉冲宽度 与 频谱:呈反比关系 从上图可见,随着脉冲宽度 的减少,信号的频率分量分布的更宽 思考:因为 那么因为sinx\x的图形不变,当sinx\x=0时的x不会变,则此时 减少,表示Wn会变大。 同时在 处的第一个零交点在频率轴上移远。 用脉冲宽度 定义带宽
解释:上面三点其实与 上升时间越小,对应带宽越大 的关系是一致的。
频谱、幅度谱、相位谱、功率谱 与 周期性函数的频谱 频谱就是时域信号经过傅立叶变换后的复信号;因为Cn是复数。
周期性函数按上面傅立叶级数的推导方法来得到频谱(以频率Wn为x轴、幅值Cn为y轴) 按 傅立叶公式1中定义,可知每个频率点间的间隔是2Pi/T,那么第0个频率点即基波,它的频率=2Pi/T。T是时域信号的周期, 所以基波频率=时域信号的时钟频率,基波表示时域信号的直流分量。 从频谱图也能看出,相邻各谐波频率之间间隔为 ,它就是基波角频率。 (角频率与频率之间就是多了个2pi的关系,那么 基波频率就是时域信号的频率 ) W0在傅立叶级级数中用常数a0表示。周期=2pi/W0. 。。。 所以:频域各谐波频率一定是时域信号时钟频率的倍数。
基波的定义是:将非正弦周期信号按傅里叶级数展开,频率与原信号频率相同的量。 相应于这个最长周期的频率称为基本频率。频率等于基本频率的整倍数的正弦波分量称为谐波。
在简谐振动中,在单位时间内物体完成全振动的次数叫频率,用f表示。频率也表示单位时间波动传播的波长数。频率的2π倍叫角频率,即ω =2πf。 在国际单位制中,角频率的单位也是弧度/秒。频率是描述物体振动快慢的物理量,所以角频率也是描述物体振动快慢的物理量。频率、角频率和周期的关系为ω = 2πf = 2π/t。 在简谐振动中,角频率与振动物体间的速度 v 的关系为v =ωasin( ωt + φ )。 角频率对时间的积分等于相位的改变量。
周期函数、非周期函数的频谱总结,与对称频谱的意义 动态信号从时间域变换到频率域主要通过傅立叶级数和傅立叶变换实现。 周期信号靠傅立叶级数,非周期信号靠傅立叶变换。两个域都有自己的测量工具:时间是示波器,频域是频谱分析仪。而在一个域进行测量,通过换算可求得另一个域的结果。 傅立叶级数公式中,Cn表示了各次谐波的振幅随频率变化的情况,一般所指的频谱是幅度谱,指频率和振幅的关系,表示每个频率分量及其所占的比重大小,如振幅大小或功率大小。
上图是 共轭复数 的出发点,它说明了频谱图中出现的 负频率 只是数学上的方便写法。(注:必须记住频域只有数学意义,在现实中是不存在的) 频谱图中会得到一个关于y轴对应的频谱图。现实中负频域是不存在的。这是因为在由傅立叶级数到指数形式的转化过程中,欧拉公式对傅立叶级数系数重新分析,即Cn对an和bn进行了共轭对称调整,使得各频率分量的幅度折半按y轴分配,使之出现了对称的频谱和负频域形式。
离散傅立叶变换与抽样:时域的抽样点数与频域点数的关系 所谓信息,是指信号随时间的变化。 以下的信号以频带有限的信号。设其带宽为BHz。即理想情况下,频域中,超过f=B就绝对没有任何频率分量(实际波形中,超过BHz后,频率分量幅度迅速下降,也可视为信号带宽=B)。 对周期信号f(t)抽样时,只要抽样速率f0>=2B,则抽样不会损害其信息含量。1/2B为抽样间隔。 频谱如下:
当抽样速率下降时,f0及所有谐波都会互相靠拢,则上图中各频谱分量会重叠在一起,比如中心位于f0的分量F(W+W0) 会同中心位于原点的 未偏移项F(W)相混,这样就不能从Fs(W)中分出F(W),也就不可能从fs(t)中恢复f(t)。 解释:上面说明了,抽样的过程即 周期脉冲信号(抽样信号)与原信号(信息信号) 相乘,产生的结果信号: 在频域上,会保留原信号的所有信息(即其频域分量会全部保留),但频谱搬移到抽样频率的所有谐波上。 即:以 抽样信号的频谱各频率点为中心,每个频率点的上下边带都会保留全部的 原信号频谱 信息。 因为上下边带的存在,所以从数学上看,要避免频谱分量重叠的办法只有让 抽样信号的频谱间隔为2B,即△f=2B,它也是抽样信号的基波频率(见 基波的定义 部分),即时域信号的速率. 如果抽样速率较小,则抽样信号的带宽变小,谐波的频率分量会更紧密的靠在一起。则很容易发生, 原信号抽样后,频谱分量容易重叠在一起。 如抽样速率较大,则抽样信号谐波的频率分量间隔会增大,如上图中的间隔。原信号抽样后,不易发生重叠。 抽样速率不需要越大越好。因为那样带宽太大。并且只需要 一个频率分量的上下边带 就可完全恢复原信号, 比如上图中fc、2fc左右边带就是无用的,在反傅立叶变换时只需要 0点左右的频谱分量作为输入数据即可。
2,从抽样点可以得到周期信号 的证明过程如下: 证明过程如下: 解释: 1,抽样点的个数*2 =频域中 频率点 的个数(含正频率与负频率) 2,当T=1s时,只需要2B个频谱分量即可恢复原信号,即:抽样后信号,从频域变换到时域后的信息 与 抽样前信号一样。
3,抽样信号的解调 通过傅立叶变换可以证明,在各个抽样点(时间点分别为:1/2B,2/2B...n/2B)给定信号f(t)时,对它们分别FFT之后可以得到相应的傅立叶系数Cn或F(w)。如下:
而对Cn或F(w)进行傅立叶反变换,可以得到所有可能时间上的f(t) 解释:反变换之前是频域,没有时间参数。反变换之后则是时域的连续信号。 这里的方法是:从 频域的离散频谱 反变换后生成 时域的连续信号。而频域信号来自于时域的抽样值。
上述过程已经证明:用 时间相隔1/2B 的各个抽样点上的f(t)信号 就足以确定所有时间的f(t)。 上述过程已经证明,让信号样值通过一个带宽为B hz的理想低通滤波器,可以再现原信号f(t)。这就是解调。
采样速率越高或采样点数越多,相当于从频域反变换到时域时得到的谐波越多,叠加后得到的f(t)更像原信号。
傅立叶变换与正交性 在第一个傅立叶级数公式中,通过时域f(t)信号求频谱Cn(先求an,bn)的过程中利用了三角函数的正交性。 {cos(nx),sin(nx)}就像一个智能过滤装置,只允许和自己完全同频率的函数通过( 可以得到这个频率的频域信号 ),将其余的频率完全正交化为0。这是傅立叶变换的原理与正交化的重要意义所在。 傅立叶变换的 思想总结与优点 傅立叶认为:任何周期信号都可用成谐波关系的正弦函数级数来表示。而非周期信号是不全成谐波关系的正弦信号的加权积分。 傅里叶变换能将满足一定条件的某个函数表示成三角函数(正弦和/或余弦函数)或者它们的积分的线性组合。在不同的研究领域,傅里叶变换具有多种不同的变体形式,如连续傅里叶变换和离散傅里叶变换。 叠加 是指原始信号中不同正弦波信号的频率、振幅和相位 在时域的累加。
解释: 傅立叶给出的定理大致是,任意一个周期函数都可以表示为sin与cos的无穷级数。 前者(周期函数)是时域的表示方法。后者(sin与cos的无穷级数)是频域的表示方法。 时域,有周期T(时间),就有频率f = 1/T的概念. 时域与频域的对应关系,可以举例: 南郭先生吹竽的故事。齐宣王喜欢听合奏,南郭先生也可混在里面;齐宣王死了之后,就是齐泯王了,齐泯王要听独奏,南郭先生就跑了(滤波了)。傅里叶变换的目的就是将时间域里面的合奏分解为频率域里面一个个独奏的叠加\\\\,然后你就可以去挑了。 类似的例子还很多。如选美,选美小姐全部站在台上,甚至抱成一团,是挑不出美人的。要对她们作傅里叶变换,将她们一个个拉出来溜,才能将真正的美人选(滤波)出来。
解释: 傅里叶变换是一种解决问题的方法,一种工具,一种看待问题的角度。理解的关键是:一个连续的信号可以看作是一个个小信号的叠加,从时域叠加与从频域叠加都可以组成原来的信号,将信号这么分解后有助于处理。我们原来对一个信号其实是从时间的角度去理解的,不知不觉中,其实是按照时间把信号进行分割,每一部分只是一个时间点对应一个信号值,一个信号是一组这样的分量的叠加。 傅里叶变换后,其实还是个叠加问题,只不过是从频率的角度去叠加,只不过每个小信号是一个时间域上覆盖整个区间的信号,但他确有固定的周期,或者说,给了一个周期,我们就能画出一个整个区间上的分信号,
傅里叶变换就是将一个信号的时域表示形式映射到一个频域表示形式;逆傅里叶变换恰好相反。这都是一个信号的不同表示形式。它的公式会用就可以,当然把证明看懂了更好。对一个信号做傅里叶变换,可以得到其频域特性,包括幅度和相位两个方面。幅度是表示这个频率分量的大小,那么相位呢,它有什么物理意义?频域的相位与时域的相位有关系吗?信号前一段的相位(频域)与后一段的相位的变化是否与信号的频率成正比关系。傅里叶变换就是把一个信号,分解成无数的正弦波(或者余弦波)信号。也就是说,用无数的正弦波,可以合成任何你所需要的信号。 想一想这个问题:给你很多正弦信号,你怎样才能合成你需要的信号呢?答案是要两个条件,一个是每个正弦波的幅度,另一个就是每个正弦波之间的相位差。所以现在应该明白了吧,频域上的相位,就是每个正弦波之间的相位。 傅里叶变换用于信号的频率域分析,一般我们把电信号描述成时间域的数学模型,而数字信号处理对信号的频率特性更感兴趣,而通过傅立叶变换很容易得到信号的频率域特性。傅里叶变换简单通俗理解就是把看似杂乱无章的信号考虑成由一定振幅、相位、频率的基本正弦(余弦)信号组合而成,傅里叶变换的目的就是找出这些基本正弦(余弦)信号中振幅较大(能量较高)信号对应的频率,从而找出杂乱无章的信号中的主要振动频率特点。如减速机故障时,通过傅里叶变换做频谱分析,根据各级齿轮转速、齿数与杂音频谱中振幅大的对比,可以快速判断哪级齿轮损伤。
在自然界,频率是有明确的物理意义的,比如说声音信号,男同胞声音低沉雄浑,这主要是因为男声中低频分量更多;女同胞多高亢清脆,这主要是因为女声中高频分量更多。对一个信号来说,就包含的信息量来讲,时域信号及其相应的傅里叶变换之后的信号是完全一样的。那傅里叶变换有什么作用呢?因为有的信号主要在时域表现其特性,如电容充放电的过程;而有的信号则主要在频域表现其特性,如机械的振动,人类的语音等。 若信号的特征主要在频域表示的话,则相应的时域信号看起来可能杂乱无章,但在频域则解读非常方便。在实际中,当我们采集到一段信号之后,在没有任何先验信息的情况下,直觉是试图在时域能发现一些特征,如果在时域无所发现的话,很自然地将信号转换到频域再看看能有什么特征。信号的时域描述与频域描述,就像一枚硬币的两面,看起来虽然有所不同,但实际上都是同一个东西。正因为如此,在通常的信号与系统的分析过程中,我们非常关心傅里叶变换。 |
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