全世界至少有220多个国家和地区，大家有没有想过，如果在地图上不同国家用不同颜色标注起来，那么最少可以用多少种颜色呢？其中是不是有什么规律呢？
早在1852年，毕业于伦敦大学的弗南西斯在一家科研单位负责地图着色的工作。在过程中弗南西斯发现了一种有趣的现象：“似乎每一幅地图都可以用四种颜色进行着色，使得有共同边界的国家都可以被画上不同的颜色。”如下图：
这个现象能不能从数学上加以证明呢？弗南西斯和他在大学读书的弟弟决心试一试。兄弟二人为证明这一问题而使用的稿纸已经堆成了山，可是研究工作没有进展。于是，弗南西斯的弟弟就这一问题请教自己的老师，著名数学家摩尔根。
摩尔根找不到解决这一问题的途径，于是又写信，向自己的好友，著名数学家密尔顿请教，显然密尔顿也未能找到解决这一问题的途径。
一开始，四色问题并为引起人们足够的重视，因很多数学家们低估了它的难度。随着时间推移，更多数学家参与四色猜想中，人们慢慢发现这个看似简单问题并不那么容易证明。
1872年，著名数学家凯利正式向伦敦数学学会提出了这个问题，于是四色猜想便成了世界数学界关注的问题。
一百多年来，四色猜想困扰着数学家们，没有人能证明它，也没有人能推翻它。
无数的数学家投身于四色猜想的证明，这期间虽然有许多人声称自己证明了四色猜想，但最后都被证明是错误的。
1878～1880年两年间，著名的律师兼数学家肯普和泰勒两人分别提交了证明四色猜想的论文，宣布证明了四色定理，大家都认为四色猜想从此也就解决了。
11年后，即1890年，在牛津大学就读的年仅29岁的赫伍德以自己的精确计算指出了肯普在证明上的漏洞。不久，泰勒的证明也被人们否定了。此后，越来越多的数学家虽然对这个问题用尽方法，但都一无所获。于是，人们开始认识到，这个貌似容易的题目，其实是一个可与费马猜想相媲美的难题。
因此，四色定理因此也成为世界近代三大数学难题之一(另外两个是费马定理和哥德巴赫猜想)。四色定理又称四色猜想、四色问题，确切说是：每个平面地图都可以只用四种颜色来染色，而且没有两个邻接的区域颜色相同。
四色定理图形1：
四色定理用数学语言可以这么去理解：将平面任意地细分为不相重叠的区域，每一个区域总可以用1，2，3，4这四个数字之一来标记，而不会使相邻的两个区域得到相同的数字。（值得注意：这里所指的相邻区域，是指有一整段边界是公共的，如果两个区域只相遇于一点或有限多点，就不叫相邻的。因为用相同的颜色给它们着色不会引起混淆。）
进入20世纪以来，科学家们对四色猜想的证明基本上是按照肯普的想法在进行。
1913年，伯克霍夫在肯普的基础上引进了一些新技巧，美国数学家富兰克林于1939年证明了22国以下的地图都可以用四色着色。
1950年，有人从22国推进到35国。
1960年，有人又证明了39国以下的地图可以只用四种颜色着色，随后又推进到了50国。
这种人为推进方法显然十分缓慢。电子计算机问世以后，演算速度迅速提高，大大加快了对四色猜想证明的进程。1976年，在J. Koch的算法的支持下，美国数学家阿佩尔(Kenneth Appel)与哈肯(Wolfgang Haken)在美国伊利诺斯大学的两台不同的电子计算机上，用了1200个小时，作了100亿判断，终于完成了四色定理的证明。四色猜想的计算机证明，轰动了整个世界。
因此，1976年9月《美国数学会通报》 宣布四色定理被证明。它不仅解决了一个历时一百多年来的难题，一个多世纪以来，这期间数学家和数学工作者为证明这条定理用尽方法，间接促进了拓扑学与图论的生长、发展。在四色猜想的研究过程中，不少新的数学理论随之产生，成为数学史上一系列新思维的起点，也发展了很多数学计算技巧。如将地图的着色问题化为图论问题，丰富了图论的内容。不仅如此，四色定理在有效地设计航空班机日程表，设计计算机的编码程序上都起到了推动作用。
不过，因为四色定理是第一个主要由计算机证明的理论，这一证明并不被所有的数学家们所接受接受，因为它不是由人工直接验证。四色定理的计算机证明程序是纯粹的基于四色具体问题的问题求解步骤，而非人类通用的逻辑思维或逻辑推理，不能应用于其它哪怕是极为简单的数学定理的证明。
