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怎样把中国建为数学大国？ 陈省身 先从我个人说起：我1926年入天津南开大学，1930年数学系毕业，那时我的老师姜立夫先生是极少数有博士学位的人。现在听说在台湾的数学博士在二百人以上，全世界的中国数学博士当超过千人，在这样的基础上，如何使中国的数学发展，使在二十一世纪的数学史上，中国是一个重要的区域，自然值得我们深思。
今年一件值得庆祝的事，是中国在国际数学竞赛(International Mathematical Olympiad) 获得第一（第二、三名依次为苏联及美国）。不但如此，中国总分超出第二名苏联甚远。参加者中，有四人得满分，其中两个是中国人。中国参加这竞赛不久：1988年得第二名，去年（1989年）也是第一名。 这项竞赛是高中程度，不包括微积分。但题目需要思考，我相信我是考不过这些小孩子的。因此有人觉得，好的数学家未必长于这种考试，竞赛胜利者也未必是将来的数学家。这个意见似是而非。数学竞赛大约是在百年前从匈牙利开始的；匈牙利产生了同她的人口不成比例的许多大数学家！ 在最高深、最活跃的数学方面，中国数学家亦有许多杰出的工作，无法尽举，简述若干如下： 一、1983年，丘成桐教授因为Calabi猜想及广义相对论的正质量猜想的证明，获得国际数学会议的费尔兹(Fields)奖章。这是一个重要的国际数学奖（参阅康明昌〈数学界的诺贝尔奖〉一文）。 二、美国数学会每年选择一个最活跃的专题，作为暑期节目(summer institute) 的中心课题，集国际上这方面的专家，举行为期约三周的工作营（编案：即讲习会）。1988和1990年的题目分别是“多复变函数”和“微分几何”。这两科目里，中国数学家是突出的。微分几何会丘成桐是主持人之一。两会中作特约演讲者有萧荫堂、莫毅明、田刚、项武义及李伟光等。中国这方面的人数，超过百人。其中才智之士，即将脱颖而出者，不可胜数。举莫毅明教授为例，他现在是巴黎大学教授。巴黎是二十世纪大数学家彭卡瑞(H. Poincare) 的根据地。莫毅明班门弄斧，令人佩服。 三、项武义教授最近解决了球装(sphere packing) 的问题，这问题有近四百年的历史，是一项富有历史意义的工作。 这个单子还可继续写下去。近年来中国数学家的贡献，是不可忽视的。
数学是什么？数学家究竟做些什么事？一个严格的定义会叫我们进入一死胡同。大致说来，数学和其他科学一样，它的发展基于两个原因：一、奇怪的现象；二、数学结果的应用。一个例子是以下的“幻方”： 其中九个不同的数目，横加、直加，和沿两条对角线的和都是15。可惜幻方只是一个奇迹，没有什么应用。另外的一个奇迹，圆周长L，对直径d的比率，
杨振宁先生讲过这样的故事：我们都知道，德国大数学家高斯（CF Gauss, 1777～1855年）在读小学的时候，老师出了一个题目：求1+2+3+ … +某数的和。同学们都用死算，高斯却获得一个公式，可以立刻求得答案。方法是命 将各项倒过来为，则得 由此可见每列两个数的和都是n +1。因有n列，得 振宁把这办法讲给他的孩子听，大家都了解和欣赏。但一年后问起这问题，却都忘了。杨振宁、陈省身同比我们更聪敏的人不同的地方，是我们了解这个推论的美、的力量，听过之后，永远不忘。 谈到数学的欣赏，让我再讲一个故事。当代有名的数论大家A. Selberg（1917～）曾经说，他喜欢数学的一个动机，是以下的公式： 这个公式实在美极了；单数1,3,5,…… 这样的组合可以给出π。对于一个数学家来说，此公式正如一幅美丽的图画或风景。凡读过初等微积分的人大多应碰到这个公式。如果只因为考试而背诵它，这个人便不必读数学。
不管数学是什么，数学家在继续推展它的范围。最奇妙的，是新数学得到不能想像的应用。数学工作的主要目的，是了解新数学的性质，尤其是它与传统数学不同的地方。结果把奥妙变为常识，复杂变为简单。数学便成为科学的有力而不可缺少的工具。 兹举数学在历史上的若干进展为例： 一、一本划时代的书是欧几里得（Euclid，约300 BC）的《几何原本》。它把空间的几何性质，从一组公理出发，用逻辑推得。欧书范围其实不限于几何。这本书把数学建为一项系统的学问，不再是一堆汇集的问题。历史上有一段时间，欧书也用来练习推理，成为一本通俗的教科书。 二、欧书讨论的范围，限于平面上的直线、圆周和空间的相当图形。等到笛卡儿（Descartes, 1596～1650年）引进解析的方法，便可研究平面上由任意方程 F ( x , y )=0 所定的曲线。几何的范围扩大了！但任意曲线或任意函数的研究要等牛顿（Newton, 1642～1727年）和莱布尼兹（Leibniz, 1646～1716年）发现微积分，才特别有效。这个时期另一个重要的数学家是费玛（Fermat, 1601～1665年）。他同时发现了许多解析几何和微积分的观念，可惜他在生前未曾发表。 三、微积分的一个基本新观念是无穷：无穷大或无穷小。由无穷便引到极限。澄清这些观念不是一件容易的事，费了数学家约两百年的时间。它牵涉到实数系统、拓朴和数学的基础。一个关键的人物是康托（Cantor, 1845～1918年）。他的“点集论”独创新意，高瞻远嘱，为数学立了基础。 四、数学上另一个基本概念是“群”。最早的问题是解代数方程，要把任意方程 的根，表为系数的只含根号的函数。要回答这个问题，需要群的观念。最先认清这个关系的，是法国的年轻数学家伽罗瓦（Galois, 1811～1832年，参阅本刊十四卷九期〈伽罗瓦短暂的一生〉）。群的观念从此深入到每个数学领域。 在几何方面有变换群。欧氏空间的全体运动组成一个群。其他还有投影变换群、等角变换群等。这种群是无限的，它的元素组成一个空间。他们都是李群的特例。创始人Lie（1842～1899年）是挪威的数学家。李群是数学上一个基本的概念。 有限群的研究是很困难的。要了解它们的结构，数学家把它们分解为单群。但是单群并不简单：有许多极大的有限单群。当代领袖的代数学家说：有限的单群已经完全确定了。可是这个定理的证明，需要二千页，也还没有人把它完全写下来。 五、上面说过，解析几何推广图形的范围。最普通的一个情形，是在n维空间Rn内，讨论一组方程式 其中 流形把空间的观念扩大了。在微分流形上可以用微积分的工具，实施种种运算。这个发展使微分几何成为数学的一个中心领域。 六、请容许我谈一点同我个人工作有关的一个方面，即所谓纤维丛和连络。我们有种种特殊的空间，如欧氏空间、矢量空间、仿射空间等等，我们也有一般的拓朴空间。前者有深刻的性质，后者富于普遍性。纤维丛是把两者串连起来的一个观念。它是一个自然的发展，也十分有用。它有局部的性质和整体的性质。前者容易描写和度量，后者选出重要的性质。纤维丛的现象，出现于数学的各部门和理论物理。 物理上有四种力：核力、电磁力、重力和弱力。现在大家公认：这四种力的能都是规范场。纤维丛的连络是规范场论的数学基础。
二十世纪数学的一个现象，是职业数学家人数的大量增加。美国几个数学会的全体会员录列五万六千多人，其中绝大多数是有博士学位的。 数学成为一个社会现象，大约发生于一百年前。今年德国数学会庆祝成立一百周年。去年则有美国数学会成立百年纪念。国际数学家会议的首次会于1897年在瑞士苏黎世举行，会期三天。第一个演讲者是法国的彭卡瑞，题目是“纯分析同数学物理的关系”（彭氏因病未能出席，演讲由人代读）。值得注意的是，这题目今天仍适用，但“分析”似应改为“几何”。国际数学家会议四年举行一次，今年八月在日本京都召开。1994年将回到苏黎世开会。 另一个现象是计算机的侵入。计算机引发了许多新的课题，如recursive functions、如complexity、如fractals 等等。它对于许多数学工作有用，也使若干问题改观。但究竟影响有多大，则是一个聚讼的问题。数学天地虽小，也是很热闹的。 计算机的立刻的影响，恐怕是数学教育。从前需要学习的某些方法，现在不再需要，至少应该改变。这种讨论对于数学的发展是健康的。 第二次世界大战以后，科学受到重视，数学研究也得到社会的支持。有些人可靠做研究生活。这个情形的一个效果，是使得数学工作者同相类的工作者有相类的待遇，因此能吸收有才能的新人进入工作的行列。 一个发展是研究所的成立。最早而最有名的是普林斯顿的高级研究所(Institute for Advanced Study, IAS)。这个故事值得一讲！二十年代美国纽约大百货公司Macy 公司的老板L. Barmburger，决定捐??一大笔款办理科学事业，问计于教育家W. Flexner。Flexner 先生的建议说：“你的捐款数目很大，但是不足以办一个第一流的试验科学研究所。如果侧重数学，则可能是第一流的。”Barmburger 听了他的话。恰好德国希特勒于1933年取得政权，IAS 请到爱因斯坦、怀尔(H. Weyl) 等教授。不出十年，普林斯顿成了世界数学研究的中心。 IAS 的主要节目，是网罗年轻有为的数学家，给他们优良的环境和工作机会。作者第一次在那里，是1943～45年，完成了我一生最重要的工作。此恩令人难忘。以后我还去过三次（短期访问不计），都给我愉快的回忆。 继起的研究所有：巴黎的Institute Des Hautes Etudes、英国Warwick 的Mathematics Institute、日本京都的Mathematical Sciences Research Institute、波昂的Max Planck Institut，以及巴西、墨西哥等研究所。最近成立的苏联列宁格勒的研究所，和正在计划中的英国剑桥的牛顿研究所。这些研究所都有著名的常任研究人员、广泛的节目，也十分欢迎合格的访问数学家。 讲到研究所，自然应提到柏克莱的MSRI，因为我曾经起过若干作用。这是美国国家基金会支持的，是美国第一个政府办的数学研究所。在一个民主的国家，这种事要经过长期的酝酿。等到决定举办以后，它的地点更是大家争逐的目标。我同I. Singer 及CC Moore 送进一份计划书以后，没有做过任何争取的努力。我可以想像柏克莱计划的优点，获选并非偶然。1982年成立以来，备受好评。 尽管大家鼓吹交流和合作，我相信数学研究主要靠个人。一个人的创见是努力和灵感的结晶，不是同一群人讨论的结论。数学是一个广泛而复杂的学问，自然需要吸收各方面的知识和观点。但更要紧的要有个人的风格。 数学的研究与其他科学相比，有一个显著的不同的地方:它是向多方面发展的。当今的物理科学和生物科学往往有几个主题。但数学的研究方向比较可随个人自由选择。所以工作不必集中于几个大的中心，研究人员可较分散。一个有能力、有决心的人，可以随不同的途径，完成他的志愿。 二十世纪是数学的一个黄金时代。
数学上一个极大的谜是：为什么数学会有用？ 上面所讲的圆周率π遍见于数学公式。因为要使每个二次方程式都有解，我们引进复数 近来一种风气，是在数学机构上，加“应用”两字。其实纯粹数学与应用数学是很难画界的。再举一个例：代数拓朴中有所谓“结”论，问空间绳子的结，是否可不经剪断而解开。例如下图的梅花结就解不开。
这个问题在分子生物学DNA 结构的研究中，极为重要。所以生物学家需要学微分几何与代数拓朴。柏克莱的钟斯(V. Jones) 教授因为“结”论与算子代数的工作，获国际数学会的1990年费尔兹奖。他引进了结的新的不变式，现称钟斯多项式（参阅本刊二十一卷十二期〈数学界的诺贝尔奖〉一文）。 科学的发展需要数学。但是历史告诉我们，他们所需要的数学，往往为数学家所已发展的。这是数学家值得自豪的，也是一件十分神秘的事实。 我相信数学是有内容的，不完全是逻辑。二十世纪数学中的菩萨包括黎曼(Riemann)、彭卡瑞。大致说来，黎曼把数学建立在流形的观念上，彭卡瑞则发展高维的数学。流形不必光滑，非紧致的流形将有更多几何性质，若干无限维流形会有美丽的现象，这些都是可以期望的远景。 两千年的数学发展是连续的。这个现象当可继续。不过二十一世纪的数学将是一个新的天地。世变不可知，可引以自慰的是数学是一个坚固的结构。我想有人类就有数学！
中国数学的发展已具有充分的条件，不妨考虑一下当前有些什么事可做： 一、要有信心。千万把自卑的心理放弃，要相信中国会产生许多国际第一流的数学家。也没有理由中国不能产生牛顿、高斯级的数学家。 法国文学家罗曼罗兰写过一本书，记载中古时代德国音乐家在罗马的故事。罗马人笑他们，这种野蛮的人，如何懂音乐？没有多少年德国出了巴哈、贝多芬。我做学生的时候，曾经看见日本人写的文章，说中国人只能习文史，不能念科学。这种荒谬的说法，当时也可言之成理。 中国应建立若干基地。交流仍是必要的。但应求逐渐对等。 二、希望社会能认识中国成为数学大国是民族的光荣，而予以鼓励和支持。例如，不要把数学家看成“怪人”。中国没有出牛顿、高斯这样伟大的数学家，是社会的、经济的现象。中国的大数学家，如刘徽、祖冲之、李治等都生逢乱世。我想治世时聪敏人都去求功名做官去了。这情形现在并没有改变。要提倡数学，必须给数学家适当的社会地位和待遇。 愿中国的青年和未来的数学家，放大眼光展开壮志，把中国建为数学大国！
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