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解析几何和微积分的产生

2012-03-28  西窗听雨

十七世纪,微分和几分运算的发明,同力学的发展紧密相连。这是因为力学需要方便和可靠的运算,欧几里得的几何学与十六世纪代数学已不能适应新的需要。其次,到了十七世纪,在数学方面,人们已研究了无理数、负数、虚数,在代数关系中也引入了字母作为抽象量的符号,并广泛地讨论了无限大和无限小及与之有关的变化、连续等概念。所有这些,都为微积分的产生和发展奠定了基础。

法国数学家费马(Pierre de Fermat,1601~1665)和笛卡尔,用代数方法研究几何问题,创立了坐标几何或称解析几何。其中心思想是把代数方程和曲线、曲面等联系了起来。

费马1601年8月17日生于法国南部博蒙—德洛马涅,1665年1月12日卒于卡斯特尔。他利用公务之余钻研数学,在数论、解析几何学、概率论等方面都有重大贡献,被誉为“业余数学家之王”。

费马最初学习法律,但后来却以图卢兹议会的议员终其一生。他博览群书,精通数国文字,掌握多门自然科学。虽然年近三十才认真注意数学,但成果累累。他性情淡泊,为人谦逊,对著作无意发表。去世后,很多论述遗留在旧纸堆里,或书页的空白处,或在给朋友的书信中。他的儿子S·费马将这些汇集成书,共两卷,在图卢兹出版(1679)。

费马特别爱好数论,他证明或提出许多命题,最有名的是“费马大定理”,即:不可能有满足 的正整数x、y、z、n存在。这命题他写在丟番图《算术》(拉丁文本,1621)第2卷的空白处:“……将一个高于二次的幂分为两个同次的幂,这是不可能的。关于此,我确信已发现一种美妙的证法,可惜这里空白的地方太小,写不下。”由于后来找不到费马的证明,激发起历代数学家的兴趣,然而至今仍未得到普遍的证明。

和笛卡尔同时或较早,费马已得到解析几何的要旨。他在《平面与立体轨迹引论》(开始于1629年,1636年前完成;“立体轨迹”指不能用规尺作出的曲线,与现在的含义不同)一文中明确指出方程可以描述曲线,并通过方程的研究推断曲线的性质。他用的一种倾斜坐标,y轴没有明显出现,而且不用负数,他以此坐标系给出了较复杂的二次方程。在他1637年的《求最大值和最小值的方法》中,引进了曲线 。不过,以后通用的则是笛卡尔的坐标系。因此,他和笛卡尔分享创立解析几何的荣誉。

费马是微积分学的先驱。他在给G·P·罗贝瓦尔和笛卡尔的信(1636,1638)中提出求极大、极小的步骤,实际已相当于令导数为零,求出极点的方法。他曾讨论曲线 下的面积,这是积分学的前期工作。费马还是十七世纪兴起的概率论的探索者之一。他提出光学的“费马原理”,给后来变分法的研究以极大的启示。

笛卡尔在1637年出版他的《更好地指导推理和寻求科学真理的方法论》,此书是文学和哲学的著作,包括三个附录:《几何》、《折光》和《陨星》。其中《几何》部分包括了他关于坐标几何和代数的思想。这是笛卡尔所写的唯一数学著作,其余则主要靠通信传播他的数学思想。

笛卡尔认为数学可以有效地应用到科学中去,但希腊人的几何学过于抽象,而且过多地依赖于图形;当时通行的代数又完全受法则和公式的控制,以至于成为一种充满混杂与晦暗、故意用来阻碍思想的艺术,而不象一门改进思想的科学。他因此主张采取代数和几何中的一切最好的东西,互相取长补短。

在《几何》中,他开始用代数来解决几何作图问题,后来才出现了用方程表示曲线的思想。笛卡尔这时使用的仍是倾斜坐标系,方程的x、y只取正值,但他附带说明方程所代表的曲线不局限在第一象限,并说明了在其他象限可能出现的情况。

在论述了曲线方程的思想之后,笛卡尔断言,容易证明曲线的次与坐标轴的选择无关。他还提出两个不同的曲线,用同一坐标轴来写出它们的方程,并且联立地解出这两个方程便可以求出这两条曲线的交点。他还明确地定义,几何曲线是可以用唯一的含x和y的有限次代数方程来表示的曲线。笛卡尔对几何曲线进行了分类,含x和y的一次和二次曲线属于第一类。他提出圆锥曲线的方程是二次,但没有证明。三次和四次方程的曲线,构成第二类。五次和六次方程的曲线,构成第三类等等。在这里他是为了强调曲线方程的次是衡量曲线简繁的标准。他把曲线的次强调得过于重要,以致于以为象笛卡尔叶线 这样复杂的曲线会比 还要简单。

在费马和笛卡尔工作的基础上,十七世纪坐标几何学有了很大的扩展。英国数学家沃利斯(John Wallis,1616~1703)在《论圆锥曲线》中,第一次得到圆锥曲线的方程,并证明这些曲线确实就是几何里的圆锥曲线;他还是第一个有意识地引进负的纵横坐标的人。但十七甚至十八世纪,人们一般只用一根坐标轴(x轴),其y值是沿着与x轴成直角或斜角的方向画出的。坐标几何通过牛顿、贝努利(J. Bernoulli,1667~1748)等人的工作有了进一步的发展。他们引进了极坐标,发现了许多新的曲线,还较详细地讨论了三维坐标几何中的曲面方程等。

坐标几何的重要性在于:一方面,几何概念可用代数表示,几何的目标可通过代数达到;反之,它又可以给代数语言以几何的解释,可以直观地掌握那些语言的意义,又可以得到启发去提出新的结论。拉格朗日在他的《数学概要》中曾具体阐述了这些优点:“只要代数同几何分道扬镳,他们的进展就缓慢,它们的应用就狭窄。但是当这两门科学结合成伴侣时,它们就互相吸纳新鲜的活力,从那以后,就以快速的步伐走向完善。”实际上,十七世纪以来数学的巨大发展,在很大程度上应归功于坐标几何。

坐标几何在数学发展史上有着重要的地位。西方从希腊时代到十七世纪以前,几何统治着数学,代数居于附庸的地位;从十七世纪开始,代数成为基本的数学部门,而微积分将成为决定的因素。在这转折的过程中,坐标几何为代数的运用铺平了道路,为以后微积分的发展打下了基础。

微积分的创立,首先是为了解决十七世纪力学科学问题。它主要提出了以下四类问题:第一类问题是这时人们已经知道物体运动的距离表示为时间的函数,但要求出物体在任意时刻的速度和加速度问题;反之已知物体的加速度表示为时间的函数的公式,求速度和距离。根据物理学原理,每一个运动的物体,在其运动的每一时刻必定有瞬时速度,但过去计算某一时间间隔的平均速度的作法已经失效,因为移动的距离和所用的时间都为0,出现了0/0而无意义。第二类的问题是求曲线的切线,这个问题除已知的纯几何的需要外,光学的研究和透镜的设计,都必须知道光线射入透镜的角度以便应用反射定律。光线的入射角与光线同曲线的法线有关,法线是垂直于切线的;再者研究运动物体在它的轨迹上任一点处的运动方向,是轨迹的切线方向。第三类问题是求函数的最大值与最小值问题,例如研究炮弹获得最大射程的发射角等。第四类问题是求曲线长,求曲线围成的面积,曲面围成的体积以及物体的重心等。

微积分的问题被十七世纪许多数学家探索过,并作了大量的工作,微积分的发展经历了一条漫长而曲折的道路,牛顿和莱布尼茨则是继承前人的成就,作出了创立微积分的重要贡献。

关于求最大值和最小值问题,开普勒曾作过具有开创性的研究。他的研究是从一个实际问题引起的:求一个酒桶的比例。他对奥地利酒桶进行了观测,其研究结果于1615年发表,即《新空间几何》,其中第二部分是对奥地利酒桶进行测量。他证明在有内接球面的、具有正方形底的正平行六面体中,立方体的容积最大。开普勒还将球看作由无限个无限小的锥体所形成,锥的顶点就是球的中心,底面构成球的表面,于是指出球的体积是半径与球面积乘积的三分之一。他将锥和柱看作由无穷多个薄圆片组成,并且用这个观点计算其体积。同样,他令圆绕一直线旋转,并用无限小方法计算由这样产生的圆球的体积。

开普勒的一些求和方法对于后来积分运算也具有先驱作用。例如在1609年他发表的著名的《新天文学》中,有类似于现代符号表达的公式: 。自然,开普勒对这里所包含的基本概念,远没有搞清楚,他所用的无限小元素概念也是含混的,但他的这些论著对后来微积分的发展,对牛顿及其其他数学家都有重要的影响。

伽利略对等加速运动(自由落体)详细观测后指出:如把时间区间分细,则物体在每区间经过的路程将与1,3,5,7,……成比例,这个结果相当于表达式 。伽利略的证明是运用几何的方法,而且引用了不可分量和数学无限小的概念。他在《两种新科学的对话》中,广泛地讨论了无限大、无限小等概念的性质,但他又说“无限和不可分量的本质是我们不可理解的”。他还坚持连续量是由不可分量所组成,各部分的个数无限多,但它不象一堆细小的粉末,而是象流体那样把各部分凝成一个整体。这个比拟是人类用某种方法来描绘从有限向无限过渡的极好例证。

关于求曲线的切线方法,费马、笛卡尔都作过研究。I·巴罗也给出了求曲线的切线方法。他的几何方法的特点是运用了后人称为微分三角形的概念。巴罗的主要著作《几何讲义》(1669年出版)是对微积分的一个巨大贡献,因为这本书里不仅有求切线的方法,还有两个函数的积和商的微分定理,x的幂的微分,求曲线的长度,甚至隐函数的微分定理等。他的学生牛顿以及莱布尼茨等都从这本书中受到很大教益。

其他如伽利略的学生卡瓦列利(B. Cavalieri,1598~1647)也考察了微积分的方法,他用几何的方法证明了对于从1到9的正整数n的公式(按现代在记法)是: 。英国数学家沃利斯在他的《无穷的算术》(1655年)中,运用分析法和不可分法求出了许多面积,并得到广泛而有用的结果。

总之在牛顿、莱布尼茨以前,微积分的大量知识已经积累起来了。而且,微积分的主要特征,即积分可以由微分的逆过程求得,这一关系的很多迹象早已遇到过,但它的意义当时却没有人体会到。当时求曲线的切线和面积以及求曲线的最大值与切线问题,人们对它们之间的内在联系,对从已解决的特殊性问题中认识其普遍性都还没有解决。至于导数和极限的概念更要经过漫长的认识过程才能获得。

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