图形的量化---解析几何：图形的位置（一）

笛卡尔

关于数与图形结合的根本性工作，即坐标系和解析几何的发明，是由两位法国数学家笛卡尔和费马完成的。柯郎在他的著作《什么是数学》中说，费马的工作是在1626年，笛卡尔的工作是在1637年完成的。

虽然笛卡尔在数学上作出过杰出的贡献，但他更重要的贡献却是在哲学方面，他的思想对于科学的发展影响深远，甚至影响到莱布尼茨和牛顿这样的伟人。笛卡尔崇尚科学，关于科学考察的对象，在《探求真理的指导原则》的“原则二”中，他明确地写道：

“应当仅仅考察凭我们地心灵似乎就足以获得的确信无疑的认识的那些对象”

在这一点，笛卡尔说得比柏拉图更为深刻，因为他不仅说出了科学所应当考察的对象，也就是柏拉图所说的必须用思考才能看到的对象，笛卡尔还说了凭借什么去考察，这就是心灵，也就是直观。在“原则三”中，他又进一步强调：

“关于打算考察的对象，应当要求的不是某些别人的看法，也不是我们自己的推测，而是我们能够从中清楚而明显地直观出什么，或者说，从中确定无疑地演绎出什么，因为，要获得真知，是没有其他方法的”

在这里，我们能够明晰地知道，无论是知识获取的方法还是科学研究的方法，笛卡尔强调的是直观和演绎。关于直观，他接着论述道：

“我用直观一词，......指的是纯粹而专注的心灵的构想，......产生于唯一的光芒，即理性的光芒的不容置疑的构想，这种构想由于更单纯而比演绎本身更为确实无疑”

更进一步，笛卡尔又对直观和演绎的功能进行了分工：

“起始原理本身则仅仅通过直观而得知，相反，较远的推论是仅仅通过演绎而获得”

我们看到，虽然对于直观的解释有所不同，但无论是古希腊的柏拉图，文艺复兴后的笛卡尔，还是工业革命后的康德，都非常强调直观对于思维的重要，强调直观对于知识的重要，我们将在后续《数学的抽象》专门讨论这个问题。

笛卡尔 《方法论》

笛卡尔于1637年发表了著名的《更好地指导推理和寻求科学真理的方法论》，因为书名太长，人们通常称这部书为“方法论”。在《方法论》中，笛卡尔说出了他对数学的看法，阐述了一个大胆的，对后世产生了重要影响的思想：

“我发现在逻辑方面，三段论式和大部分其他法则只能用来向别人说明已知的东西，......，并不能求知未知的东西。......至于古代人的几何和近代人的代数，都是只研究非常抽象，看来毫无用处的题材。此外，前者始终局限于考察图形，直到把想象力累得疲惫不堪后才运用理解力；后者则一味地用规则和数字来约束，使人感觉晦涩枯燥，头昏脑胀，却得不到心灵的学问。正因为如此，我才要寻找另一种方法，包含这三种学问的长处，而没有它们的短处”

笛卡尔在《方法论》的附录《几何学》中实践了上述想法，他寻找的另一种方法就是解析几何，通过解析几何笛卡尔把传统几何与代数有机地结合起来了。《几何学》共分三编，第一编的题目为“仅使用直线和圆的作图问题”，讨论如何利用尺规把算术问题转化为几何问题；第二编的题目为“曲线的性质”，在这一编，笛卡尔批判了传统的尺规作图的方法，认为应当引入度量的方法来研究复杂的曲线，这样，他发明了坐标系和解析几何；第三编的题目为“立体及超立体问题的作图”，讨论高次方程的根与几何作图的关系，虽然笛卡尔对负数还不理解，比如他认定方程的负数根为假根，但在这一编他给出了三个重要的，对后来数学的发展影响深远的概念：（1）n次方程有n个根；（2）代数基本定理的雏形，即如果a是方程f(x)=0的根，则x-a一定能够整除f(x)；（3）方程可能会出现虚根。

下面，我们通过两个例子来分析笛卡尔的几何与欧几里得几何的差别，从而分析笛卡尔是如何发明解析几何的。第一个例子：作图求二次方程的根，考虑下面的二次方程

y²=ay+b²

y²=-ay+b²

y²=ay-b²

因为笛卡尔出版这部书是在韦达之后半个世界，因此他应当知道上面三种形式是有统一解的，可是笛卡尔希望用几何作图的方法给出方程的解，因此必须分别讨论。比如第一种形式可以等价地得到

(y-a/2)²=a²/4+b²

进一步可以得到

y=a/2+√a²/4+b²

这样，如图（1）所示

图（1）组图求y2=ay+b2的根

令LM为b，NL为a/2且垂直于LM，延长MN至P使得NP的长等于a/2，则MP就是所求线段y。其他两种形式的根可以类似地作图得到。

然后，笛卡尔把问题推广到四次方程

x⁴=ax²+b2

的形式，利用二次方程的结果可以作图得到

x=√a/2+√a²/4+b²

我们看到，笛卡尔的心灵确实闪耀着理性的光芒，他已经给出了现代代数学中“数域扩张”的雏形。

第二个例子就是所谓的“帕波斯问题”问题：

如图（2）所示

图（2）四条直线的帕波斯问题

有四条给定的直线AB，AD，EF和GH，求点C描出的轨迹，使得过点C 的四条线段CB，CD，CF和CH与给定直线成给定角时，CB与CF的积等于CD与CH的积。

由条件知道，这个轨迹中只有两个自由变量。如果令A和B之间的线段为x，B和C之间的线段为y，利用条件就可以建立x和y之间的关系表达式，这是一个轨迹为椭圆的曲线方程。在这个过程中，笛卡尔明确地建立了坐标系，并利用这个坐标系讨论了曲线的方程，虽然这个坐标系不是直角坐标系，但在后来的论述中，笛卡尔建立的坐标系大多数都是直角坐标系。

直角坐标系

通过上面的两个例子我们可以看到，欧几里得几何在本质上研究的是静态的图形，而笛卡尔几何则考虑了图形的运动，特别考虑了点的运动轨迹，并且用曲线来刻画这样的运动轨迹，这个变化是根本的，这个变化是现代数学的发端。我们说过，观察运动是需要参照物的，为了刻画运动轨迹就必须借助坐标系，在这个意义上，随着几何学和代数学的发展，人们发明坐标系是必然的。