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吉安市白鹭洲中学 李芹 摘要：本文主要论述了解析几何产生的背景，基本思想.解析几何是数学史上的划时代巨制, 解析几何作为一个数学分支的创立归功于法国数学家笛卡儿和费马.其基本思想是借助坐标法，把反映同一运动规律的空间图形(点、线、面)同数量关系(坐标和它们所满足的方程)统一起来，从而把几何问题归结为代数问题来处理. 关键词：解析几何、产生、基本思想 数学是人类心灵的独特创造,也是人类文化的主要表现形式之一.作为数学的核心,数学思想的形成蕴涵着特定的文化历史背景,蕴涵着数学家本人在数学活动中解决问题的基本观点和根本想法,因而具有丰富而独特的文化内涵,使得文化成为数学的基本特征之一.解析几何是数学史上的划时代巨制,笛卡儿是其创始人之一.数学史和思想史对解析几何的数学结构及笛卡儿的哲学观、方法论等做了诸多研究.在中学阶段，我们学生只要掌握平面解析几何的基本知识.但是作为一线的数学教师，要对课程所涉及到的知识点产生的文化背景和历史渊源都要有一定的认识，才能在教学中将数学史知识很好地渗透于课堂教学中去，激发学生学习数学兴趣，了解数学知识的产生、发展的历程.本文主要是想从多视角下审思解析几何产生背景，解析几何的基本思想，旨在对解析几何的文化内涵有更进一步的认识. 十六世纪以后，由于生产和科学技术的发展，天文、力学、航海等方面都对几何学提出了新的需要.比如，德国天文学家开普勒发现行星是绕着太阳沿着椭圆轨道运行的，太阳处在这个椭圆的一个焦点上；意大利科学家伽利略发现投掷物体是沿着抛物线运动的.再如钟表摆动、炮弹弹道、透镜形状等，所有这些，都已超出欧几里得几何学的范围.这些发现都涉及到圆锥曲线，要研究这些比较复杂的曲线，原先的一套方法显然已经不适应了，这就导致了解析几何的出现.法国数学家笛卡尔由于亲自参加社会实践，重视对机械曲线的探讨，终于突破了用综合法研究静止图形的局限性，在他所著的《方法论》一书的附录《几何学》中引进了变数，开始用解析方法来研究变化的图形的性质. 一、起源与背景
公元前2000年的巴比伦人已能用数字表示从一点到另一固定点、线或物体的距离，已有原始坐标的思想.公元前4世界，中国战国时代的天文学家石申夫绘制恒星方位表时已利用了坐标方法.同时的古希腊数学家门奈赫莫斯发现了圆锥曲线，并对这些曲线的性质作了研究.公元前200年左右，阿波罗尼奥斯用类似于直角坐标系的轴线研究圆锥曲线，以圆锥体底面的直径作横坐标，过顶点的垂线作为纵坐标，是解析几何的萌芽.此外，埃及人和罗马人在测量地形时，希腊人在绘制地图时都使用了坐标概念. 约1350年，法国数学家奥雷姆提出一种坐标几何：用两个坐标确定平面上点的位置，用水平线上的点表示时间，称为经度；而所对应的速度则用纵线表示，称为纬度.这样用经纬两个坐标就将物体运动情况在图上表示出来.这是从天文、地理坐标向坐标几何学的过渡.16世纪末，韦达提出了用代数方法解决几何问题的设想.例如，在尺规作图研究中将化圆为方问题归为二次方程，倍立方和三等分角问题归为三次方程等.17世纪初，科学技术的发展也对数学提出新的要求.德国天文学家、数学家开普勒在1609年建立行星椭圆轨道理论，总结出两条规律：（1）行星运行的轨道时一个椭圆，太阳位于其中一个焦点上：（2）在相等的时间内，行星与太阳的连线所扫过的面积相等.1619年，他又提出第三条定律：行星公转周期的平方与轨道半长轴的立方成正比.这三大定律都是用数学语言叙述的，也要求数学提供更有效的手段研究行星运动.与开普勒同时代的意大利科学家伽利略研究抛射体运动的轨迹，指出在理想状态下，它是一条抛物线.这要求数学从运动变化的观点研究和解决问题.这些工作成为解析几何建立的外部动力. 解析几何作为一个数学分支的创立归功于法国数学家笛卡儿和费马.笛卡儿《几何学》的出版（1637）标志着解析几何的建立，但费马对解析几何所作的工作在时间上要更早. （1）费马的职业是律师，业余研究数学，成果累累.他约在1629年研究阿波罗尼奥斯关于轨迹的问题时，写下了《平面与立体轨迹引论》的文章，阐述了通过坐标系，把代数用于几何的思想.他所用的坐标相当于现代的斜坐标，但y轴没有明确出现，而且不能用负数.其中出现了一般直线和圆的方程，以及双曲线、椭圆、抛物线的讨论.该文当时没有发表，直到他去世后1679年才公诸于世.1637年，费马又解析地定义了许多新的曲线，如xnym=a,yn=axm,rn=aθ等，分别被称为费马的双曲线、抛物线和螺线.费马已经知道坐标可以平移或旋转，一些较复杂的方程可以化简为简单形式.他指出，一次方程代表直线轨迹，二次方程代表圆锥曲线.他在从方程出发研究轨迹方面取得重要成功.费马出身于商人家庭，学法律并以律师为职业，数学只是他的业余爱好.虽然他只是利用闲暇时间研究数学，但他却对数论和微积分作出了一流的贡献.费马在研究曲线轨迹时，把代数应用到几何中，开创了在一个坐标系统中，以一系列数值来表示一条曲线轨迹的方法.例如:代数式 （2）笛卡儿是法国大哲学家，早年也学习法学，后来转向数学和哲学研究.1637年，在莱顿出版了他的名著《方法论》，后面有3篇附录，一篇叫《折光学》，一篇叫《流星学》，一篇叫《几何学》.当时的这个“几何学”实际上指的是数学，就像我国古代“算术”和“数学”是一个意思一样. 笛卡尔的《几何学》共分三卷，第一卷讨论尺规作图；第二卷是曲线的性质；第三卷是立体和“超立体”的作图，但他实际是代数问题，探讨方程的根的性质.后世的数学家和数学史学家都把笛卡尔的《几何学》作为解析几何的起点. 卷一将几何问题转化为代数问题，提出几何问题的统一作图法：将线段与数量联系起来，设立方程，根据方程的解所表示的线段间的关系进行作图.卷二给出解析几何的基本思想方法，将平面上的点与一种斜坐标确定的数对（x,y）联系起来，进一步考虑含有两个未知数的二次不定方程，再依据方程的次数将曲线分类.卷3讨论代数方程理论，给出笛卡儿符号法则：多项式方程的正根个数不超过其系数的变号次数，而负根的个数不超过同号系数连续出现的次数.其中还改进了韦达的符号系统：用a,b,c等表示已知量，用x,y,z表示未知量，这种记法沿用至今. 笛卡儿提出，必须把逻辑、几何、代数三者的优点结合起来，而丢弃它们各自的缺点，从而建立一种“真正的数学”、“普遍的数学”.《几何学》为此做了具体的尝试.笛卡儿用他的这一新的方法得到了一系列新颖的想法与结果.笛卡儿的成就为牛顿、莱布尼茨等人发明微积分开辟了道路. 解析几何的创立使数学（当时主要是代数和几何）研究有了行之有效的方法.几何概念可以用代数表示，几何的目标可以通过代数去达到.反过来，给代数语言以几何解释，可以直观地掌握语言的意义，又可以得到启发去提出新的结论.18世纪著名数学家拉格朗日这样评价解析几何：“只要代数同几何分道扬镳，它们的进展就缓慢，它们的应用就狭窄.但是当这两门科学结合成伴侣时，它们就互相吸取新鲜的活力.从那以后，就以快速的步伐走向完善.” 解析几何的优点在于，对于解题过程中的每一步该怎样作，我们都很清楚，这使综合几何的“试错法”相形见绌.它为17世纪的科学发展提供了数学工具，对物理学、天文学、航海学、光学等学科的发展起了重要的推动作用. 二、基本思想 笛卡儿创立解析几何的思维构想,在于他采取了不同于欧几里得传统的全新思路.他从解决几何作图问题出发,运用算术术语,巧妙地引入了变量思想和坐标观念,并用代数方程表示曲线,然后再通过对方程的讨论来给出曲线的性质.其要旨是把几何学的问题归结为代数形式的问题,用代数学的方法进行计算、证明,从而达到最终解决几何问题的目的,即几何代数化的方法.他的基本思想是借助坐标法，把反映同一运动规律的空间图形(点、线、面)同数量关系(坐标和它们所满足的方程)统一起来，从而把几何问题归结为代数问题来处理，运用这种坐标法，可以研究比直线和圆复杂得多的曲线，而且使曲线第一次被看成动点的轨迹.从此，由曲线或曲面求它的方程，以及由方程的讨论研究它所表示的曲线或曲面的性质，就成了解析几何学的两大基本问题.为纪念笛卡尔为数学发展所作的贡献，我们也把直角坐标系称为笛卡尔坐标系，把直角坐标系所表示的平面称为笛卡尔平面.在中学，我们只学习平面解析几何的基础知识. 在解析几何中，首先是建立坐标系.取定两条相互垂直的、具有一定方向和度量单位的直线，叫做平面上的一个直角坐标系xoy.利用坐标系可以把平面内的点和一对实数(x,y)建立起一一对应的关系.除了直角坐标系外，还有斜坐标系、极坐标系、空间直角坐标系等等.在空间坐标系中还有球坐标和柱面坐标. 坐标系将几何对象和数、几何关系和函数之间建立了密切的联系，这样就可以对空间形式的研究归结成比较成熟也容易驾驭的数量关系的研究了.用这种方法研究几何学，通常就叫做解析法.这种解析法不但对于解析几何是重要的，就是对于几何学的各个分支的研究也是十分重要的. 解析几何的创立，引入了一系列新的数学概念，特别是将变量引入数学，使数学进入了一个新的发展时期，这就是变量数学的时期.解析几何在数学发展中起了推动作用. 从笛卡尔的《几何学》中可以看出，笛卡尔的中心思想是建立起一种“普遍”的数学，把算术、代数、几何统一起来.他设想，把任何数学问题化为一个代数问题，在把任何代数问题归结到去解一个方程式. 为了实现上述的设想，笛卡尔茨从天文和地理的经纬制度出发，指出平面上的点和实数对(x,y)的对应关系.x,y的不同数值可以确定平面上许多不同的点，这样就可以用代数的方法研究曲线的性质.这就是解析几何的基本思想. 具体地说，平面解析几何的基本思想有两个要点：第一，在平面建立坐标系，一点的坐标与一组有序的实数对相对应；第二，在平面上建立了坐标系后，平面上的一条曲线就可由带两个变数的一个代数方程来表示了.从这里可以看到，运用坐标法不仅可以把几何问题通过代数的方法解决，而且还把变量、函数以及数和形等重要概念密切联系了起来.
参考文献： [1]张继凯.《高等数学背景知识——关于解析几何》广东白云学院.2007 [2]王海平.《解析几何的建立》 高一语数外.2008(1) [3] 侯维民.《谈解析几何产生的背景、方法和意义》天水师专学报(自然科学版)1998年第3期第18卷 |
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