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科普:圆锥曲线的历史、应用和启示

2015-08-20  生活-快乐
 圆锥曲线的历史、应用和启示

 

一.圆锥曲线的研究历史

1.圆锥面上的圆锥曲线

  公元前4世纪后半期,由于战争,希腊的文化中心从雅典东移到古老埃及的亚历山大城,希腊、埃及两方文化结合,更使希腊人的文学、艺术、哲学、自然科学取得了卓越的成就,关于数学中圆锥曲线的研究也是在这个时期开始。

  希腊人最先研究圆锥曲线,据传首先是为了解决当时的几何学与神学提出的所谓“德里问题”或“立方倍积问题”,并在逐步探索认识和解决问题的过程中,发展和深化了对圆锥曲线的了解。

所谓“德里问题”或“立方倍积问题”,是传说很久以前,一次希腊德里群岛中一个名叫杰罗西岛的地方发生了瘟疫。岛上部落问自己的酋长怎样祈祷上帝,才能免除这场灾难。酋长说,要把祭祀上帝的立方体形祭坛重新砌造成一个更大的,要求新砌的祭坛仍是立方体,但体积要为原来祭坛体积的2倍。即原立方体棱长为a,新立方体棱长x,得:, 。问题的实质就是如何根据a求作x 。

不少的古希腊学者研究过这个问题,开始大多是企图通过尺规作图的方法来解决的,也形成了多种方法(这些方法都不是严格意义上的“尺规作图”)。古希腊几何学家、天文学家梅内克缪斯(Menaechmus 前375-前325年)的方法是:用一个平面垂直于顶角分别是锐角、直角和钝角的圆锥的母线,得到三种不同截线,他把这三种截线分别叫做“锐角的”、“直角的”和“钝角的”圆锥截线,即后来的椭圆、抛物线和一支等轴双曲线。那么在“立方倍积问题”中,如何作出x= 这一线段呢?用现在的直角坐标方程的知识可知,它实际是两条抛物线 和两交点中非原点的那个交点的横坐标,而这两条抛物线梅内克缪斯在当时就是从圆锥截线得到。所以梅内克缪斯是系统研究圆锥曲线的第一人,他最早给圆锥曲线以命名,并利用抛物线满意地解决了“立方倍积问题”。

圆锥曲线就这样神奇地仿佛是无中生有地产生在圆锥曲面上。

2.几何学里的圆锥曲线

在公元前3世纪前后,最著名的希腊三大学者欧几里德(Euclid 前330 ?-前275年)、阿基米德(Archimedes 前287?-前212年)和阿波罗尼斯(Apollonius 前262-前200年)都研究了圆锥曲线。欧几里德除了总结历史上几何学发展的成果,把几何学条理化、系统化写成巨著《几何原本》一书外,还著有《圆锥曲线论》等书(可惜失传了)。欧几里德在《几何原本》中给出了圆锥曲线统一定义,即平面内一点F和一定直线AB,从平面内动点M向AB引垂线,垂足为C,若MF:MC值一定,则动点轨迹为圆锥曲线,但他未证明。阿基米德则成功计算了抛物线弓形的面积,发明了用同心辅助圆画椭圆的方法,还提出了圆锥曲线的直径的概念。阿波罗尼斯著书《圆锥曲线》共八卷,有487个命题(其中第八卷失传)。该书全面讨论了圆锥曲线的性质,并包含了坐标和曲线方程的思想,但都是用几何方法。他推广了梅内克缪斯用平面垂直三种顶角(锐角、直角、钝角)圆锥的母线而得圆锥曲线的方法,从同一个圆锥中,改变截面对于圆锥轴的倾角的方法,就能截出三种圆锥曲线。他同时并用两对顶圆锥,从而发现了双曲线有两支。他研究了圆锥曲线的直径和轴,研究了双曲线的渐近线。他最先发现椭圆、双曲线有焦点,发现椭圆、双曲线上任一点处切线性质(“光学特性”),但未发现抛物线的“光学特性”。

公元340年,希腊学者帕普斯(Pappus 约290-350年)著《希腊数学集成》,他首次发现抛物线有焦点和圆锥曲线有准线。他第一个用焦点和准线来定义圆锥曲线:圆锥曲线是一动点到一定点和到一定直线距离的比是常数的轨迹,并加以证明,说明MF:MC值小于1时,M点轨迹为椭圆,等于1时为抛物线,大于1时为双曲线。他还提出了圆锥曲线的离心率。

上述对圆锥曲线的研究用的都是纯粹几何的方法,其构造、推演、论证的技巧与方法实在令人折服。

3.客观现实中的圆锥曲线

到公元4世纪和5世纪时,延续一千多年之久的奴隶制度开始崩溃,在长期战争和外族侵略摧残中,古代文化遭到极大破坏。在此后直至公元15世纪的一长段令人窒息的中世纪时期中,在新兴的封建国家里,取代古代朴素唯物主义和文化科学的是宗教的神学思想。在这一段长夜漫漫的黑暗年代,关于数学圆锥曲线的研究,非当没有什么更多的发展,而且几乎被埋没了。在阿波罗尼的《圆锥曲线》问世后的13个世纪里,整个数学界对圆锥曲线的研究一直没有什么新进展。11世纪,阿拉伯数学家曾利用圆锥曲线来解三次代数方程,12世纪起,圆锥曲线经阿拉伯传入欧洲,但当时对圆锥曲线的研究仍然没有突破

“在中世纪的黑夜之后,科学以意想不到的力量一下子重新兴起,并且以神奇的速度发展起来。” (恩格斯《自然辩证法》)在这一段时期中,古希腊的“逻辑演绎思想”与欧洲的“科学实证精神”相结合,科学和技术出现了划时代的伟大进步。关于圆锥曲线的研究,也有了深入的发展。不仅古希腊人的经典文明(包括对圆锥曲线的研究成果)被从宗教修道院中重新发掘出来,而且结合新的生产、科学实践,进一步丰富了它的内容。

16世纪,有两年事促使了人们对圆锥曲线作进一步研究。一是德国天文学家开普勒(Kepler,1571~1630)继承了哥白尼的日心说,揭示出行星按椭圆轨道环绕太阳运行的事实;二是意大利物理学家伽利略(Galileo,1564~1642)得出物体斜抛运动的轨道是抛物线。人们发现圆锥曲线不仅是依附在圆锥面上的静态曲线,而且是自然界物体运动的普遍形式。于是,对圆锥曲线的处理方法开始有了一些小变动。譬如,1579年蒙蒂(Guidobaldo del Monte,1545~1607)椭圆定义为:到两个焦点距离之和为定长的动点的轨迹。从而改变了过去对圆锥曲线的定义。不过,这对圆锥曲线性质的研究推进并不大,也没有提出更多新的定理或新的证明方法。

17世纪初,在当时关于一个数学对象能从一个形状连续地变到另一形状的新思想的影响下,开普勒对圆锥曲线的性质作了新的阐述。他发现了圆锥曲线的焦点和离心率,并指出抛物线还有一个在无穷远处的焦点,直线是圆心在无穷远处的圆。从而他第一个掌握了这样的事实:椭圆、抛物线、双曲线、圆以及由两条直线组成的退化圆锥曲线,都可以从其中一个连续地变为另一个,只须考虑焦点的各种移动方式。譬如,椭圆有两个焦点F1、F2,若F1固定,考虑F2的移动,当F2向左移动,椭圆逐渐趋向于圆,F2与F2重合时即为圆;当F2向右移动,椭圆逐渐趋向于抛物线,F2到无穷远处时即为抛物线;当F2从无穷远处由左边回到圆锥曲线的轴上来,即为双曲线;当F2继续向右移动,F2又与F1重合时即为两相交直线,亦即退化的圆锥曲线。这为圆锥曲线现代的统一定义提供了一个合乎逻辑的直观基础。

随着射影几何的创始,原本为画家提供帮助的投射、截影的方法,可能由于它与锥面有着天然的联系,也被用于圆锥曲线的研究。在这方面法国的三位数学家笛沙格(Desargue1591- 1661)、帕斯卡(Pascal,1623- 1662)和拉伊尔(Phailippe de La Hire,1640~1718)得出了一些关于圆锥曲线的特殊的定理,可谓别开生面。

4.坐标系下的圆锥曲线

法国著名哲学家、数学家笛卡尔(Descarter 1596-1650年)创立了解析几何学,他建立了坐标系概念,用数学方程来研究物体的运动轨迹,并且认识到代数的二元二次方程的图象是圆锥曲线。

法国著名数学家费尔玛(Fermat 1603-1665年)受到古希腊阿波罗尼斯著作《圆锥曲线》的启发,于笛卡尔稍后,也独立具有了解析几何的思想。他分别从三个不同的方面给圆锥曲线以定义,就是既把圆锥曲线看作平面截圆锥所得的截线,又看作是平面上动点到定点和到定直线距离比为常数的点的轨迹,还看作是代数的二元二次方程的图象。

解析几何的创立,使得人们对圆锥曲线的认识进入了一个新阶段,对圆锥曲线的研究方法既不同于阿波罗尼,又不同于投射和截影法,而是朝着解析法的方向发展,即通过建立坐标系,得到圆锥曲线的方程,进而利用方程来研究圆锥曲线,以期摆脱几何直观而达到抽象化的目标,也可求得对圆锥曲线研究高度的概括和统一。

17世纪下半叶,英国著名科学家牛顿(Newton 1642-1727年)、德国著名数学家莱布尼兹(Leibniz 1646-1716年)创立了微积分学,以运动、辩证的数学分析方法,解决实践中提出的本身就是运动、辩证的大量数学、力学问题,“获得了不仅是正确的,而且是初等数学研究完全不能达到的成果。”(恩格斯《反杜林论》)新的分析方法,极大地推动了数学、物理、天文科学的发展。牛顿还用微积分学研究了圆锥曲线的切线性质,提出了它的光学应用,还设计了牛顿系统的光学反射式望远镜。

18世纪,人们广泛地探讨了解析几何,除直角坐标系之外又建立极坐标系,并能把这两种坐标系相互转换。在这种情况下表示圆锥曲线的二次方程也被化为几种标准形式,或者引进曲线的参数方程。1745年欧拉发表了《分析引论》,这是解析几何发展史上的一部重要著作,也是圆锥曲线研究的经典之作。在这部著作中,欧拉给出了现代形式下圆锥曲线的系统阐述,从一般二次方程。出发,圆锥曲线的各种情形,经过适当的坐标变换,总可以化以下标准形式之一:

 

 

继欧拉之后,三维解析几何也蓬勃地发展起来,由圆锥曲线导出了许多重要的曲面,诸如往面、椭球面、单叶和双叶双曲面、以及各种抛物面等。

总而言之,圆锥曲线无论在数学以及其他科学技术领域,还是在我们的实际生活中都占有重要的地位,人们对它的研究也不断深化,其研究成果又广泛地得到应用。这正好反映了人们认识事物的目的和规律。

 

二.圆锥曲线的应用

1.用以刻画客观世界中物质的运动

宏观方面,天体运行的轨迹包含了三种圆锥曲线;微观方面,卢瑟福散射中的粒子沿双曲线运动;玻尔的“电子在核外绕核作圆周运动”的量子化轨道也被推广到椭圆轨道。现实生活中,我们知道,斜抛射物体在仅受地球引力作用、不计空气阻力下的运动轨迹是抛物线,而简谐振动与液体流动中也都含有圆锥曲线。

2.“光学特性”在科技上的应用

抛物线、椭圆、双曲线各有其所谓“光学特性”,这些“光学特性”被应用于光学、声学、热学、电子学的各个领域而大放异彩。如光学中灯具与望远镜的设计;声学中的音乐台的抛物面屏墙,椭圆听音实验;电子学中的冲击波排石及激光消痣椭圆;在微波通讯、聚热、发电(如太阳灶、太阳炉、太阳能光电站等)也都用到了圆锥曲线尤其是抛物线的“光学特性”。

3.在建筑、生产用品制造上的应用

 圆锥曲线在许多大型拱形、薄壳建筑上,在大量生产、生活用品制造上,亦有许多出众表现。如诸多著名桥梁的抛物线型设计,薄壳结构类建筑的椭圆状穹顶,热电站的双曲面冷淋塔。同样,抛物线、椭圆、双曲线也广泛存在于人们日常生活用品和生产用具上,这些妙用是由其特殊的形状和内在特性决定的。

     4.曲线定义在技术上的应用

         人对声源的确定与双耳效应有关。根据双耳时差,可以确定声音必定在以双耳为焦点的一条双曲线上。同样,若有三个固定的点,某一位置就可以根据接来自三点信号的时间差确定两条双曲线,这两条双曲线的交点就是其确定的位置。这就是“双曲线时差定位法”的基本原理。著名的“罗兰导航系统”、“全球卫星定位导航系统”等其原理也是一样的。

三.给我们的一点启示

当圆锥曲线圆锥曲面上神奇地仿佛是无中生有地产生时,梅内克缪斯可能没有想到,圆锥曲线在现实世界还有如此多样的存在方式;当古希腊的那些学者们在研究圆锥曲线的性质时,他们也不会想到,这些性质竟有如此丰富多彩的出神入化的应用。他们当初的研究就是针对数学而言,没有也不会想到太多;也正是数学本身的魅力吸引了他们,让如痴如醉地研究数学。

不错,数学来源与生活又服务于生活,数学是有用的。但有用的标准是什么?当初陈景润研究哥德巴赫猜想用到的理论和方法让很多研究数学的人也感到难以理解,高处不胜寒,但现在却成了密码学的一个重要依据(杨乐语);而数学中的二进制,常常让人觉得麻烦和不习惯,仿佛一种纯数学的毫无用处的游戏规则,但我们现在都知道,电脑设计中离开它是一个无法想象的事。

数学是有用的,但作为一种新的数学知识,我们往往暂时看不到它的用处,因为数学本身的一个特征就是它常常是领先于其他自然科学或社会科学的。它有其自身的发展动力与轨迹,如问题的产生,内部的矛盾,和谐与统一的追求,方法的选择与革新等。所以我们在强调“数学有用”的同时,不能过分地被“有用”的标准所牵制。

 

 

 

附:笛卡儿小传

                                                                          

笛卡儿[Descartes, Rene du Perron, 1596-1650]是法国著名的哲学家、数学家、物理学家及自然科学家。他于1596年3月31日出生于图伦一贵族家庭。童年就读于拉弗莱什公学时,因体弱多病,被允早晨在床上读书,渐渐养成一种喜爱宁静,擅于思考的习惯。在校内更结织了密友梅森。

 

1612年,他到巴黎普瓦捷大学供读法律,四年后获颁博士学位,并成为律师。当时法国社会的有志之士,不是致力宗教,便是献身军事,这种风气甚为盛行,这驱使笛卡儿于1618年往荷兰从军。服役期间,他仍对数学感兴趣。某日休息,他在街上散步时受一荷兰文招贴所吸引,但因不懂荷兰文,于是请身边的人译成拉丁文或法文。恰巧这人是多特学院院长毕克门。经此翻译,笛卡儿才得悉这是一张当时数学家所下的「挑战书」,广征上列难题答案。笛卡儿竟在数小时内求得答案,使毕克门大为佩服。 
   1621年,笛卡儿脱离军队返法,但适逢内乱,于是游历于丹麦、德国、意大利等地。直至1625年才返回法国,与梅森等人一起研讨数学。1628年移居荷兰,并通过数学家梅森神父,与欧洲主要学者保持密切联络。闲时更从事数学、天文学、物理学、化学及生理学等领域的研究。他所有著作几乎全是在荷兰完成的。他的主要著作有《指导哲理之原则》[1628年写成],以哥白尼学说为基础之《论世界》[1634年完成,但因伽利略受教会迫害而未出版],《方法论》[1637年6月8日于莱顿匿名出版],《形而上学的沉思》及《哲学原理》[1644年出版]。 
    1649年冬,他应邀到斯德哥尔摩为瑞典女皇克利斯提娜授课。最后,这位以创立解析几何而闻名的数学家因肺炎于1650年2月11日在当地病逝。 

    笛卡儿早在读书时期,已怀疑和反对统治欧洲思想界的经院哲学。多年来的游历与多方面的科学研究,加上与社会各阶层人士之交往及不断的自我反思,使他坚信必须抛弃经院哲学,探求正确思想方法,创立为实践服务的哲学,「才可成为自然的主人与统治者」。他认为数学是其它一切科学之理想与模型,提出了以数学为基础,以演绎法为核心的方法论及认识论,成为西方近代哲学创始人之一,对后世的哲学、数学及自然科学起了巨大作用。而且他还一直为捍卫他的学说而和教会及其它反对势力抗衡。 
    此外,他于1637年以法文写成的《方法论》[最早的一部著作],附设三短论及一篇序言分别为:《折光学》、《气象学》、《几何学》及《科学中正确运用理性和追求真理的方法论》。当中以《几何学》为代表作,亦因此确立了他于数学史上之地位。这亦是他唯一的数学论着。全书共分三卷,内容分析了几何学与代数学的优劣,表示要寻求另一种包含两者好处而没有两者劣处的方法。
    在卷一中,他把几何问题化作代数问题,提出几何问题的统一作图法:以单位线段及线段的加、减、乘、除、开方等概念,将线段和数量联系起来,通过线段间的关系设立方程。 
    在卷二中,他以这新方法解决帕普斯问题时,在平面上以一直线为基线,为它规定一起点及选定与之相交的另一直线,三项分别为x轴,原点及y轴,形成一个斜坐标系。此时,该平面上的任何一点位置均可以[x,y]唯一地表示。帕普斯问题便化为一含两个未知数的二次不定方程。他指出方程的次数与坐标系的选择无关,因此可依方程的次数将曲线分类。
   在卷三中,他指出方程可有与它的次数一样多的根,且提出笛儿符号法则:方程正根的最多个数等同其系数变号的次数;其负根[假根]的最多个数等同符号不变的次数。笛卡儿还以a,b、c,……表示已知量及x,y,z,……表示未知量去改进韦达所创的符号系统。

 法国数学家拉格朗日(Lagrange J.L.,1736.1.25~1813.4.10)曾经说过:“只要代数同几何分道扬镳,它们的进展就缓慢,它们的应用就狭窄。但是,当这两门科学结合成伴侣时,它们就互相吸取新鲜的活力。从那以后,就以快速的步伐走向完善。”这实际上是对笛卡儿在数学上的贡献的一种朴素而真实的评价。

《几何学》提出了解析几何学之主要思想与方法,这标志着解析几何学之诞生。笛卡儿的坐标系不同于一个一般的定理,也不同于一段一般的数学理论,它是一种思想方法和技艺,它使整个数学发生了崭新的变化,它使笛卡儿成为了当之无愧的现代数学的创始人之一。

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