【原】圆锥曲线方程的统一性

圆锥曲线方程是高中数学解析几何内容的重要组成部分，有鉴于椭圆、双曲线、抛物线与我们生活和科研的息息相关性，研究其方程，进而帮助我们研究其性质，解决相关问题，具有现实意义。

我们知道，椭圆、双曲线、抛物线都是由一个平面截一个圆锥面得到的，统称为圆锥曲线。2000多年前，古希腊数学家阿波罗尼斯采用平面切割圆锥的方法来研究这几种曲线。用垂直于锥轴的平面去截圆锥，得到的是圆；把平面渐渐倾斜，得到椭圆；当平面倾斜到“和且仅和”圆锥的一条母线平行时，得到抛物线；用平行于圆锥的轴的平面截取，可得到双曲线的一支(把圆锥面换成相应的二次锥面时，则可得到双曲线)。如下图所示：

（椭圆）

（双曲线）

（抛物线）

那么从定义上来讲，它们能否找到共同点来进行统一呢?

我们注意到无论是椭圆还是双曲线，教材中都给出了第二定义，即以到定点与到定直线距离之比（也就是离心率）为定值来定义，当比值大于0小于1为椭圆，比值大于1为双曲线，而抛物线更是直接以比值为1来定义。如此我们就从定义的角度将圆锥曲线方程如何得来进行了统一。

为什么可以这么统一？我们可以尝试做如下推导！

已知定点F(m,0)和定直线l（方程x=-m），平面内一点P(x，y)，点P到点F的距离与点P到直线l的距离之比为n（n≠1），则有：

整理变形得：

从这个形式来看，当0<n<1时，就是一个椭圆的方程；当n>1时，就是一个双曲线方程。也即我们由第二定义推导出来的点的轨迹方程符合相应椭圆和双曲线的方程的形式，第二定义是正确的。而相应的标准方程可由上述推导结果作平移变换和式子变形得到。

上面谈到了圆锥曲线从图形的统一性到方程的统一性，这里面还有几个关键的概念，就是定点（我们称之为焦点）、定直线（准线）、确定比值（离心率），在实际情景，尤其是物理研究中，都有其现实意义。有兴趣的同学可以查阅资料自行研究。