圆锥曲线及其几种退化情形

圆锥曲线的定义

海阳市第一中学    迟光成    2011年7月19日 12:05

宋修斌于11-7-19 14:08推荐推荐这个作业就是希望各位老师重拾这些理论上的东西。

于世章于11-7-20 09:07推荐熟悉的内容，久违了的知识，在迟老师的短文中再次给人眼前一亮。为人师者对知识不仅要知其然而且还要知其所以然。文章虽短，咀嚼有味，迟老师是有心人。

 

几何观点

　　用一个平面去截一个圆锥面，得到的交线就称为圆锥曲线

　　

  

通常提到的圆锥曲线包括椭圆，双曲线和抛物线，但严格来讲，它还包括一些退化情形。具体而言：

　　1) 当平面与圆锥面的母线平行，且不过圆锥顶点，结果为抛物线。

　　2) 当平面与圆锥面的母线平行，且过圆锥顶点，结果退化为一条直线。

　　3) 当平面只与圆锥面一侧相交，且不过圆锥顶点，结果为椭圆。

　　4) 当平面只与圆锥面一侧相交，且不过圆锥顶点，并与圆锥面的对称轴垂直，结果为圆。

　　5) 当平面只与圆锥面一侧相交，且过圆锥顶点，结果退化为一个点。

　　6) 当平面与圆锥面两侧都相交，且不过圆锥顶点，结果为双曲线的一支（另一支为此圆锥面的对顶圆锥面与平面的交线）。

　　7) 当平面与圆锥面两侧都相交，且过圆锥顶点，结果为两条相交直线。

代数观点

　　在笛卡尔平面上，二元二次方程ax^2+bxy+cy^2+dx+ey+f=0的图像是圆锥曲线，根据判别式的不同，也包含了椭圆，双曲线，抛物线以及各种退化情形。

焦点-准线观点 给定一点P，一直线L以及一非负实常数e，则到P的距离与L距离之比为e的点的轨迹是圆锥曲线，根据e的范围不同，曲线也各不相同，具体如下：

　　1) e=0，轨迹退化为一点（就是点P）。

　　2) 0　　3) e=1（即到P与到L距离相同），轨迹为抛物线。

　　4) 1　　5) e=∞，轨迹退化为一直线（就是L）。