利用丹迪林Dandelin双球证明平面与圆锥面的截线定理(2011-07-09 19:51:01)
椭圆是生活中常见的图形,是圆锥曲线中重要的一种。如果用一平面去截一个正圆锥,所得截口曲线是椭圆吗?还有其他情况吗?如何证明? 定理 在空间中,取直线AD为轴,直线AB与AD相交于A点,其夹角为α,围绕AD旋转得到以A为顶点,AB为母线的圆锥面,任取平面π,若它与轴交角为β(π与AB平行,记作β=0),则: (1)β>α,平面π与圆锥的交线为椭圆; (2)β=α,平面π与圆锥的交线为抛物线; (3)β<α,平面π与圆锥的交线为双曲线。
利用Dandelin双球(这两个球位于圆锥的内部,一个位于平面π的上方,一个位于平面π的下方,并且与平面π及圆锥均相切)证明: 1.β>α,平面π与圆锥的交线为椭圆; 2.点M 到点F2 的距离与点M 到直线m的距离比是小于1的常数.(称点F2为这个椭圆的焦点,直线m为椭圆的准线,常数为离心率e.)
证明1: 利用切线长相等得 MF1=MP,MF2=MQ,所以MF1+MF2=MP+MQ=PQ=定值.
相关阅读知识: 圆锥截线,是一个平面截正圆锥面而得到的曲线. 设圆锥轴截面母线与轴的夹角为α,截面和圆锥的轴的夹角为θ. 当截面不过顶点时, (1)当θ=α时,即截面和一条母线平行时,交线是抛物线; (2)当α<θ <π/2 时,即截面不和母线平行,且只和圆锥面的一叶相交时,交线是椭圆.特别地,当 θ=,即截面和圆锥面的轴垂直时,交线是圆. (3)当0≤θ<α时,即截面不与母线平行,且和圆锥面的两叶都相交时,交线是双曲线. 当截面过顶点时, (1)当θ=α时,截面和圆锥面相切,交线退化为两条重合直线. (2)当α<θ≤π/2 时,截面和圆锥面只相交于顶点,交线退化为一个点. (3)当0≤θ<α时,截面和圆锥面相交于两条母线,交线退化为两条相交直线. 前一类情况中,抛物线、椭圆(包含圆)和双曲线这三种曲线叫做非退化的圆锥曲线.有时,也把抛物线、椭圆和双曲线统称为圆锥曲线.后一类情况,交线是一个点或两条直线(包括相交与重合),把它们叫做退化的圆锥曲线. 由于椭圆(包含圆)和双曲线都具有对称中心,所以椭圆(包含圆)和双曲线是有心圆锥曲线.而抛物线不具有对称中心,抛物线是无心圆锥曲线. 在直角坐标系中,圆锥曲线的方程都是二元二次方程,因此,圆锥曲线又叫二次曲线. |
|