数学史(29)：坐标几何

……我决心放弃那个仅仅是抽象的几何。这就是说，不再去考虑那些仅仅是用来练习思想的问题。我这样做，是为了研究另一种几何，即目的在于解释自然现象的几何。——笛卡尔

一、坐标几何的缘起

费马和笛卡尔是数学中下一个巨大创造的主要负责人。他们和笛沙格及其追随者一样，关心到曲线研究中的一般方法。但他们两人在很大程度上参加了科学研究工作，敏锐地看到了数量方法的必要性，而且注意到代数具有提供这种方法的力量。因此，他们就用代数来研究几何。他们创立的科目叫做坐标几何或解析几何，其中心思想是把代数方程和曲线曲面等联系起来。这个创造是数学中最丰富、最有效的设想之一。

费马对于微积分的贡献，如作曲线的切线、计算最大值和最小值等，是为解答科学问题而设计的。他还对光学作了第一等的贡献。他对方法论的兴趣，在他的一本小书《平面和立体的轨迹引论》（Ad Locos Planos et Solidos Isagoge）中的一个明白的叙述里得到证实（此书写于1629年，但1679年才出版）。他在书中说，他找到了一个研究有关曲线问题的普遍方法。

至于笛卡尔，他是17世纪中最伟大的科学家之一，他把方法论作为他一切工作的首要对象。

二、费马的坐标几何

费马从丢番图出发开始他的数论工作。他关于曲线的工作则从研究希腊的几何学家特别是阿波罗尼奥斯开始。阿波罗尼奥斯的《论平面轨迹》（On Plane Loci）一书久已失传，费马却是把它重新写出的人之一。他对代数作了贡献之后，准备把它用来研究曲线。这一点他在上述小书《轨迹引论》中做了。他说他打算发起一个关于轨迹的一般研究，这种研究是希腊人没有做到的。

他考虑任意曲线和它上面的一般点J，J的位置用A、E两字母定出：A是从点O沿底线到点Z的距离，E是从Z到J的距离。他用的坐标就是我们所说的倾斜坐标，但是y轴没有明白出现，而且不用负数。他的A、E就是我们的x、y。

费马叙述出他的一般原理：“只要在最后的方程里出现了两个未知量，我们就得到一个轨迹，这两个量之一，其末端就描绘出一条直线或曲线。”例如，他写出“D in A aequetur Bin E”（用我们的记号就是Dx = By），并指出这代表一条直线。他又给出d(a- x) = by，并肯定它也代表一条直线。方程B² - x² = y²代表一个圆，a² - x² = ky²代表一个椭圆，a² + x² = ky²和xy= a各代表一条双曲线，而x² = ay代表一条抛物线。

因费马不用负坐标，所以他的方程不能代表整个曲线，但他领会到坐标轴可以平移或旋转，因为他给出一些较复杂的二次方程，并给出它们可以简化到的简单形式。他肯定：一个联系着A和E的方程，如果是一次的，就代表直线轨迹，如果是二次的，就代表圆锥曲线。在他的《求最大值和最小值的方法》（Methodus ad Disquirendam Maximam et Minimam，1637）中，他引进了曲线

和

三、笛卡尔

笛卡尔是第一个杰出的近代哲学家，是近代生物学的奠基人，是第一流的物理学家，但只偶然地是个数学家。不过，像他那样富于智力的人，即使只花一部分时间在一个科目上，其工作也必定是很有意义的。

他于1596年3月31日出生在图赖讷的拉哈耶（La Haye in Touraine，现改名为笛卡尔），父亲是个相当富有的律师。8岁的时候，父亲把他送进安茹的拉弗莱什（La Fleche in Anjou）的一个耶稣会学校。因为他身体不好，被允许每天早上在床上工作，这习惯他一直保持到老。他16岁离开拉弗莱什，20岁毕业于普瓦提埃（Poitiers）大学，去巴黎当律师。

在那里他遇见米道奇和梅森神甫，花了一年的时间和他们一起研究数学。但他却变得不安静起来，于1617年投入了奥拉日（Orange）的莫里斯（Maurice）王子的军队。在那以后的九年里，他时而在几个军队中服役，时而在巴黎狂欢作乐，但一直继续研究数学。在荷兰布雷达（Breda）的招贴牌中有一个挑战性的问题，他给解决了，这使他自信有数学才能，从而开始认真地钻研数学。

他回到巴黎，为望远镜的威力所激动，闭门钻研光学仪器的理论与构造。1628年他移居到荷兰，得到较为安静自由的学术环境。他在那里住了20年，写出了他的著名作品。1649年他被邀请去瑞典作克里斯蒂娜（Christina）女皇的教师。1650年他在那里患肺炎逝世。

他的第一部著作《探求真理的指导原则》（Regulae ad Directionem Ingenii）是1628年写成的，但在他死后才出版。他的第二部重要著作《世界体系》（Le Mond，1634）包括一个宇宙漩涡理论，是用来说明行星是如何转动不息而且保持在它们绕日的轨道中的。但他害怕教会的迫害，没有发表。

1637年，他出版了他的《更好地指导推理和寻求科学真理的方法》（Discours de la méthode pour bien conduire sa raison,etchercher la vérité dans les sciences）。此书是文学和哲学的经典著作，包括三个著名的附录：《几何》（La Géométrie）、《折光》（LaDioptrique）和《陨星》（Les Météores）。其中的《几何》部分包括了他关于坐标几何和代数的思想。这是笛卡尔写的唯一的数学书，虽然他在许多通信中也确实传播过许多其他关于数学的思想。《方法论》一书立刻给他带来了很大的声誉。1644年，他发表了《哲学原理》（Principia Philosophiae），专论物理科学，特别是运动定律和漩涡理论。此书也包括《世界体系》中的材料，他相信这次已经写得使教会容易接受些。1650年他发表了《音乐概要》（Musicae Compendium）。

笛卡尔的科学思想支配着17世纪。他的教导和著作，因为表达得非常清楚动人，甚至在非科学家中间也很通行。只有教会排斥他。实际上笛卡尔是虔诚的，并且他相信他已经证明了上帝的存在，因而感到高兴。但他教导说，圣经不是科学知识的来源，只凭理性就足以证明上帝的存在，并且说，人们应该只承认他所能了解的东西。教会对他这些话的反应是，在他死后不久，就把他的书列入《禁书目录》（Index of Prohibited Books），并且当在巴黎给他举行葬礼的时候，阻止给他致悼词。

笛卡尔是通过三条途径来研究数学的：作为哲学家，作为自然的研究者，作为关心科学的用途的人。他生活在清教与天主教间的争论达到高潮的时代，又在科学刚刚开始发现一些向宗教教条挑战的自然规律的时代。因此，他开始怀疑他在学校里得到的一切知识。早在他在拉弗莱什结束了课业的时候，他就断定他受的教育仅仅加重了他的烦闷。他相信除了认识到自己的无知外，没有什么进步。

由于笛卡尔曾在欧洲最著名学校之一里待过，又由于他相信自己在那里不是一个劣等生，他感到有理由去怀疑在任何地方有没有可靠的成套知识。于是他就想这个问题：我们是怎样知道一些东西的？

但他不久就断定逻辑本身是无结果的：“谈到逻辑，它的三段论和其他观念的大部分，与其说是用来探索未知的东西，不如说是用来交流已知的东西，或者用来无判断地空谈我们所不知道的东西。”所以逻辑不能提供基本的真理。

到哪里去找基本道理呢？他排斥了通行的、大部分是经院派的哲学，说它虽然有吸引力，但显得没有明确的基础，而且所用的推理法并不总是无可非议的。他说，哲学仅仅提供一个“从表面上看来是到处为真的讨论工具”。神学指出了上天堂去的道路，他自己也和别人一样激动着要上那儿去，但这条道路是正确的吗？

在一切领域里建立真理的方法，据他说，是在1619年11月10日出现在他梦里的，那时他正在一次军事行动中，那个方法就是数学方法。他为数学所吸引是因为它的立足于公理上的证明是无懈可击的，而且是任何权威所不能左右的。数学提供了获得必然结果以及有效地证明其结果的方法。此外，笛卡尔还清楚地看到，数学方法超出它的对象之外。他说：“它是一个知识工具，比任何其他由于人的作用而得来的知识工具更为有力，因而它是所有其他知识工具的源泉。”

他给出结论：“几何学家惯于在困难的证明中用来达到结论的成长串的简单而容易的推理，使我想到所有人们能够知道的东西，也同样是互相联系着的。”

从他的数学方法的研究中，他抽出了在任何领域中获得正确知识的一些原则：不要承认任何事物是真的，除非它在思想上明白清楚到毫无疑问的程度；要把困难分成一些小的难点；要由简到繁，依次进行；最后，要列举并审查推理的步骤，要做得彻底，使之毫无遗漏的可能。

这些是他从数学家的实践中提炼出来的方法要点。他希望以此去解决哲学、物理学、解剖学、天文学、数学和其它领域中的问题。虽然这个大胆的计划并未成功，但他确实对于哲学、科学和数学作出了可观的贡献。心的直观力量（即对于基本的、清楚的、明显的真理的直接了解）和演绎推理，是他的知识哲学的要素。用别的方法得来的所谓知识，由于有错误的嫌疑和危险性，都应该摒弃。他在《方法论》中写的三个附录，就是为了证明他的方法是有效的，他相信他已经证明了。

笛卡尔创立了现代哲学。他找出了一些明白到他可以立刻接受的真理作为公理，最后他定出四条：（a）我思故我在（cogito, ergo sum）；（b）每一现象必有原因；（c）效果不能大于它的原因；（d）心中本来就有完美、空间、时间和运动的观念。根据（c），完美的观念（即“完美的东西”的观念）不能从人的不完美的心中推导或创造出来，它只能从一个完美的东西得到。因此，上帝存在。因为上帝不欺骗我们，所以我们就能保证：在直观上很明白的数学公理，以及通过纯粹的思想程序从这些公理得出来的推论，确实可应用于物理世界，因而它们都是真理。由此可见，上帝一定是按照数学定律来建立自然界的。

他相信他有明白而清楚的数学概念，例如三角形的概念。这些概念确实存在，而且是永恒的、不变的，它们的存在，不依赖于人是否正想着它们。因此，数学是永恒地客观地存在着的。

笛卡尔的第二个主要兴趣，是大多数和他同时代的思想家共有的，就是对自然界的了解。他用了许多年的时间在科学问题上，甚至广泛地作了力学、水静力学、光学和生物学方面的实验。他的漩涡理论是17世纪中最有势力的宇宙学。他是机械论哲学的奠基人：一切自然现象包括人体的作用，都可归结到服从于力学定律的运动。但笛卡尔把灵魂除外。

他对于光学，特别对于透镜的设计感兴趣；他的《几何》的一部分和《折光》都是讲光学的。他和斯涅耳分享发现光的折射定律的荣誉。他的科学工作和哲学工作一样，是根本性的而且是革命性的。

笛卡尔的科学工作的另一重要之点，是强调把科学成果付之实用。在这一点上，他同希腊人明白地公开地决裂。为了人类的幸福而去掌握自然，他追究了许多科学问题。对他来说，数学不是思维的训练，而是一门建设性的有用科学。他与费马不同，几乎不注意美与协调性。他不推崇纯粹数学，认为把数学方法只用到数学本身是没有价值的，因为这不是研究自然。那些为数学而搞数学的人，是白费精神的盲目的研究者。

四、笛卡尔在坐标几何方面的工作

笛卡尔对方法的普遍兴趣和对代数的专门知识，在几何上组成联合力量。他对于下述事实深感不安：欧几里得几何中每一证明，总是要求某种新的、往往是奇巧的想法。他明白地批评希腊人的几何过于抽象，而且过多地依赖于图形，以至“它只能使人在想象力大大疲乏的情况下，去练习理解力”。他对当时通行的代数也加以批评，说它完全受法则和公式的控制，以至于“成为一种充满混杂与晦暗、故意用来阻碍思想的艺术，而不像一门改进思想的科学”。他因此主张采取代数与几何中一切最好的东西，互相以长补短。

他着手开发把代数用到几何上去。他完全看到代数的力量，看到它在提供广泛的方法论方面，高出希腊人的几何方法。他同时强调代数的一般性，以及它把推理程序机械化和把解题工作量减小的价值。他看到代数具有作为一门普遍的科学方法的潜力。他把代数应用到几何的产物，是《几何》一书。

这书是不容易读的，许多模糊不清之处是故意为之，他自吹说欧洲几乎没有一个数学家能懂他的著作。他只约略指出作图法和证法，留给别人去填入细节。他在一封信里，把他的工作比作建筑师的工作，即立下计划，指明什么是应该做的，而把手工操作留给木工与瓦工。他还说：“我没有作过任何不经心的删节，但我预见到对于那些自命为无所不知的人，我如果写得使他们能充分理解，他们将不失机会地说我所写的都是他们已经知道的东西。”在《几何》中，他又给了一些别的理由，例如，他不愿夺去读者们自己进行加工的乐趣。后来有人给此书写了许多评注，使它易于了解。

他的思想必须从他书中许多解出的例题里去推测。他说，他之所以删去绝大多数定理的证明，是因为如果有人不嫌麻烦而去系统地考察这些例题，一般定理的证明就成为显然的了，而且照这样去学习是更为有益的。

在《几何》中，他开始仿照韦达的方式，用代数来解决几何作图的问题；后来才逐渐地出现了用方程表示曲线的思想。他首先指出，几何作图要求对线段加减乘除，对特别的线段取平方根，因为这几种运算也包括在代数里，所以它们都可用代数的术语表示。

在考虑作图问题时，笛卡尔说，我们必须假定问题已经解决，而用字母表示所有那些看来是作图必需的已知和未知的线段。然后我们弄清楚这些线段之间的相互关系，使得同一个量能够用两种方式表示出来，这样就得到一个方程。我们必须求出与未知线段数目相同的方程。如果方程不止一个，我们必须把它们组合起来，使得最后只剩下一个方程，其中只有一个未知的线段，用已知的线段表示出。笛卡尔然后说明怎样利用该未知线段的代数方程来把它画出。

假定某几何问题归结到寻求一个未知长度x，经过代数运算知道x满足方程x2= ax + b2，其中a、b是已知长度。于是由代数学得出

（笛卡尔不考虑负根）。他画出x如下：作直角三角形NLM，其中LM=b，NL=a /2。延长MN到O，使NO=NL=a/2。于是x就是OM的长度。

在第一卷书的前一半中，笛卡尔用代数解决的只是古典的几何作图问题。这是代数在几何上的一个应用，并不是现代意义下的解析几何。以上所说的问题，可以叫做确定的作图问题，因为结果是一个唯一的长度。笛卡尔下一步考虑不确定问题，其结果有许多长度可以作为答案。他在这里说：“也要求发现并描出这条包括所有端点的曲线。”笛卡尔着重指出，对于每个x，长度y满足一个确定方程，因而可以画出。如果方程是一次的或二次的，就可以按照第一卷的方法，用直线和圆把y画出；对于高次方程，他说将在第三卷中说明怎样画y。

笛卡尔用帕普斯的问题来说明归结到一个含有两个未知长度的方程时该怎么办：在平面上给定三条直线，求所有这样的点的轨迹，从这点作三条直线各与一条已知直线交于已知角（三个角不一定相同），使在所得的三条线段中，某两条的乘积与第三条的平方成正比。如果给定四条直线，则要求四条线段中某两条的乘积与其余两条的乘积成正比。如果给定五条直线，则要求五条线段中某三个的乘积与其余两个的乘积成正比。依此类推。

帕普斯曾宣称，当给定的直线是三条或四条时，轨迹是一条圆锥曲线。在第二卷中，笛卡尔处理了四条直线的帕普斯问题。设给定的线是AG、GH、EF和AD，要求找出满足CP * CR = CS * CQ的点C的轨迹。

笛卡尔记AP为x，PC为y。经过简单的几何考虑，他从已知量得出CR、CQ和CS的值，得到一个x和y的二次方程y² = Ay + Bxy + Cx + Dx²，其中A、B、C、D是由已知量组成的简单的代数式。此即点C的轨迹方程。

笛卡尔的作法，是选定一条线（上图中的AG）作为基线，以点A为原点。x值是基线上的长度，从A量起；y值是一个线段的长度，由基线出发，与基线作成一个固定的角度。这个坐标系，我们现在叫做斜坐标系。笛卡尔的x、y只取正值，他的图局限在第一象限之内。他断言，容易证明曲线的次数与坐标轴的选择无关。他指出这个轴要选得使最后得到的方程愈简愈好。他又迈出另外一大步，这就是考虑两个不同的曲线，用同一坐标轴来写出它们的方程，并且联立地解出这两个方程来求出这两条曲线的交点。

也是在第二卷里，笛卡尔批判地考虑了希腊人关于平面曲线、立体曲线和线性曲线的区别。希腊人说，平面曲线是可以用尺规画出的曲线，立体曲线是圆锥曲线，其余的都是线性曲线，例如蚌线、螺线、割圆曲线和蔓叶线。希腊人也把线性曲线叫做机械曲线，因为需要用某些特殊机械来画出它们。但是笛卡尔说，就是直线和圆，也需要一些工具。机械作图的准确性是无关紧要的，因为在数学上只有推理才算数。笛卡尔排斥了这种思想：只有用直尺和圆规画出的曲线才是合法的。他甚至提出一些用机械画出的新的曲线。他用一句高度有意义的话来作结论：“几何曲线”是那些可用一个唯一的含x和y的有限次代数方程来表示的曲线。因此，笛卡尔承认蚌线和蔓叶线是几何曲线，其他如螺线和割圆曲线等，他都叫做“机械曲线”。

莱布尼茨比笛卡尔更进一步，用“代数的”和“超越的”字样来替代笛卡尔的词“几何的”和“机械的”，他对曲线必须有代数方程这一要求提出抗议。实际上笛卡尔和他的同时代人都忽略了这个要求而以同样的热情去研究旋轮线、对数曲线、对数螺线（log ρ = aθ）和其他非代数曲线。笛卡尔开辟了整个的曲线领域。

笛卡尔下一步考虑几何曲线的分类。含x和y的一次和二次曲线，属于第一类，即最简单类。笛卡尔说圆锥曲线的方程是二次的，但他没有证明。三次和四次方程的曲线，构成第二类。五次和六次方程的曲线构成第三类，余类推。他相信在每一类中，高次的那一个可以化为低次的，正如四次方程的解可以通过三次方程的解来求出。当然，他这个信念是不对的。

《几何》的第三卷又回到第一卷的课题。它的目的是解决这样的几何作图问题：引到三次和高次的方程，需要圆锥曲线和高次曲线。例如求两个已知量a和q的两个比例中项的作图问题。对于q=2a的特殊情形，古希腊人做过很多尝试，因为它是解决“倍立方”问题的一种方式。

笛卡尔的解决方法：设z是一个比例中项，则另一个必定是z²/a。z满足z³ = a²q。这就是说，必须解一个三次方程。笛卡尔证明，z和z²/a可以借助一条抛物线和一个圆，用几何作图法求出。

笛卡尔得到z，并不是联立解抛物线和圆的方程而求出它们的交点，换句话说，他并不是在我们现在的意义下来图解方程。他用的是纯粹的几何作图法（但假定抛物线是可画的）和z满足上述方程的事实，以及圆和抛物线的几何性质。笛卡尔在这里做的和他在第一卷里做的完全一样，只不过在这里未知长度满足的方程是三次或高次的，而不是一次或二次的。他给出的关于问题的纯代数解，以及随之而来的作图法，实际上和阿拉伯人给出的一样。

笛卡尔不但立意说明某些立体问题怎样可以在代数和圆锥曲线的帮助下得到解决，而且注意问题的分类，使人从中知道问题牵涉到什么以及怎样解决。他的分类法根据于作图问题引出的代数问题的次数。如果方程是一次的或二次的，就可用直线和圆把图作出。如果方程是三次或四次的，那就非用圆锥曲线不可。他无意中断言：所有三次的问题都可化为三等分角和倍立方的问题，而且不用比圆更为复杂的曲线，三次问题是不能解决的。如果方程的次数高于四，作图时就需要用比圆锥曲线更为复杂的曲线。

笛卡尔又强调曲线方程的次数是衡量曲线繁简的标准。作图时应该用最简单的曲线（即最低次的方程）。他把曲线的次数强调到这个程度，以至认为像笛卡尔叶形线x²+y² - 3axy=0（下图）这样复杂的曲线，比曲线还要简单。

笛卡尔把代数提高到重要地位，其意义远远超过他对作图问题的洞察和分类。这个关键思想使人们能够认识典型的几何问题，并且能够把在几何形式上互不相关的问题归在一起。代数给几何带来最自然的分类原则和最自然的方法层次。不仅可解性问题和作图可能性问题能够从平行于几何的代数来漂亮、迅速、完全地决定，而且离开代数，决定就成为不可能的了。因此，体系和结构就从几何转移到代数。

在《几何》第二卷的一部分和《折光》里，笛卡尔用坐标几何作为助力，从事于光学的研究。他对透镜设计非常关心。他在《折光》里讨论了折射现象。在他之前，开普勒和阿尔哈森已经注意到了下述说法对大的角度是不正确的：折射角和入射角成比例，其比例常数依赖于引起折射的介质。但他两人没有发现正确的定律。斯涅耳在1626年之前发现了（但未发表）正确的定律sin i /sin r = v1 /v2，其中v1是光在第一介质中的速度，v2是光进入第二介质后的速度。

笛卡尔于1637年在《折光》里给出同样的定律，他是不是独立地发现了这个定律，至今还没有考察清楚。他给出的证明是错误的。费马立即对定律及其证明进行攻击。这就引起了两人之间长达十年之久的争论。费马一直到他从他的“最短时间原理”导出此定律后，才承认它是正确的。

笛卡尔在《折光》里描述了眼的动作之后，进而考虑怎样去恰当地设计望远镜、显微镜和眼镜的聚焦透镜。早在古代就知道球形透镜不能使平行光线或从光源发出的光线聚焦于一点，因此什么形状的透镜能起这样的聚焦作用，还是一个没有解决的问题。开普勒建议用某种圆锥截线，笛卡尔试图设计一个能完全聚焦的透镜。

他成功地解决了这个一般性问题：什么样的曲面作为两种介质的交界面时，能使从第一种介质内一点发出的光线射到曲面上，折入第二种介质而聚于一点。具有这个性质的旋转面是由笛卡尔卵形线产生的。他在《折光》里讨论这个曲线和它的折光性质，并且在《几何》的第二卷里作了补充。

这条曲线（上图）的近代定义是满足条件FM±nF'M=2a的点M的轨迹，其中F和F'是固定点，2a是大于FF'的任意实数，n是任意实数。如果n=1，曲线就成了椭圆。在一般情形下，卵形线的方程是四次的，这个曲线包括两个没有共同点的闭线，而且一个在另一个之内。在内的那个类似于椭圆，在外的那个可能是凸的，也可能有拐点。

笛卡尔和费马研究坐标几何的方法大不相同。笛卡尔批评了希腊的传统，而且主张同这传统决裂；费马则着眼于继承希腊人的思想，认为他自己的工作只是重新表述了阿波罗尼奥斯的工作。真正的发现——代数方法的威力——是属于笛卡尔的，他知道他是在改换古代方法。虽然用方程表示曲线的思想在费马的工作中对在笛卡尔的工作中更为明显，但费马的工作主要是这样一个技术的成就：他完成了阿波罗尼奥斯的工作，并且利用了韦达用字母代表数类的思想。笛卡尔的方法是可以普遍使用的，而且就潜力而论也适用于超越曲线。

虽然笛卡尔和费马研究坐标几何的方式和目的显著不同，他们依然卷入谁先发现的争论。费马的著作知道1679年才出版，但1629年已发现坐标几何的基本原理，这比笛卡尔发表《几何》的1637年早。当时笛卡尔已完全知道费马的许多发现，但否认他的思想来自费马。荷兰数学家贝克曼（Isaac Beeckman，1588-1637 ）把笛卡尔的坐标几何思想回溯到1619年，而且坐标几何中的许多基本思想无疑是笛卡尔首创的。

当《几何》出版的时候，费马批评说，书中删去了极大值和极小值、曲线的切线以及立体轨迹的作图法。他认为这些是值得所有几何学家注意的。笛卡尔回答说，费马几乎没有做什么，至多做出一些不费力气不需要预备知识就能得到的东西，而他自己却在《几何》的第三卷中，用了关于方程性质的全部知识。他讽刺地称呼费马为我们的极大和极小大臣，并且说费马欠了他的债。罗贝瓦尔、帕斯卡和其他一些人站在费马一边，而米道奇和笛沙格站在笛卡尔一边。费马的朋友们给笛卡尔写了尖刻的信。后人这两人的态度趋于缓和。在1660年的一篇文章里，费马虽然指出《几何》中的一个错误，但他宣称他是如此佩服笛卡尔的天才，即使笛卡尔有错误，他的工作甚至比别人没有错误的工作更有价值。笛卡尔却不像费马那样宽厚。

后代人对待《几何》并不像笛卡尔那样重视。虽然对数学的前途来说，方程和曲线的结合是一个显著的思想，但对笛卡尔来说，这个思想只是为了达到目的——解决作图问题——的一个手段。费马强调轨迹的方程，从近代观点来看，是更为恰当的。笛卡尔在卷一和卷三中所着重的几何作图问题，已逐渐失去重要性，这主要是因为不再像希腊人那样，用作图来证明存在了。

第三卷中也有一部分是在数学里占永久地位的。笛卡尔解决几何作图问题时，首先把问题用代数表示出，接着就解出所得到的代数方程，最后按解的要求来作图。在这个过程中，笛卡尔收集了自己和别人的有助于求解的方程论工作。因为代数方程不断出现在成百的、与作图问题无关的不同场合中，所以这个方程论已经成为初等代数的基础部分。

五、坐标几何在17世纪中的扩展

有种种原因，使坐标几何的主要思想——用代数方程表示并研究曲线——没有被数学家热情地接受并利用。费马的《轨迹引论》虽然在他的朋友中得到传播，但迟至1679年才出版。笛卡尔对于几何作图问题的强调，遮蔽了方程和曲线的主要思想。事实上，许多和他同时代的人认为坐标几何主要是解决作图问题的工具，甚至莱布尼茨也说笛卡尔的工作是退回到古代。笛卡尔本人确实知道他的贡献远远不限于提供一个解决作图问题的新方法。他在《几何》的引言中说：“此外，我在第二卷中所作的关于曲线性质的讨论，以及考察这些性质的方法，据我看，远远超出了普通几何的论述，正如西塞罗的词令远远超过儿童的简单语言一样。”但是，他利用曲线方程之处，例如解决帕普斯问题、求曲线的法线、找出卵形线的性质等，大大地被他的作图问题所遮盖。坐标几何传播速度缓慢的另一原因是笛卡尔坚持要把他的书写得使人难懂。

还有一个原因，是许多数学家反对把代数和几何混淆起来，或者把算术和几何混淆起来。早在16世纪当代数正在兴起的时候，已经有过这种反对的意见了。例如，塔尔塔利亚坚持要区别数的运算和希腊人对于几何物体的运算。他谴责《几何原本》的译者不加区别地使用multiplicare（乘）和ducere（倍）两字。他说，前一字是属于数的，后一字是属于几何量的。韦达也认为数的科学和几何量的科学是平行的，但是有区别。甚至牛顿也如此，他在《普遍的算术》中说：

对于牛顿立场的一个合理解释是：他想把代数排斥到初等几何之外，但他也确实知道，代数在处理圆锥截线和高次曲线时是有用的。

使坐标几何迟迟才被接受的又一原因是代数被认为缺乏严密性，巴罗不愿承认无理数除了作为表示连续几何量的一个符号外，还有别的意义。算术和代数从几何得到逻辑的核实，因而代数不能替代几何，或与几何并列。哲学家霍布斯（Thomas Hobbes，1588—1679）虽然在数学里是个小人物，但当他反对“把代数应用到几何的一整批人”时，却代表许多数学家发了言，说这批数学家错误地把符号当作几何。他又认为沃利斯论圆锥曲线的书是卑鄙的，是“符号的结痂”。

上述种种虽然阻碍了对笛卡尔和费马的贡献的了解，但也有很多人逐渐采用并且扩展了坐标几何。第一个任务是解释笛卡尔的思想。范斯库腾（Frans van Schooten，1615—1660）将《几何》译成拉丁文，于1649年出版，并再版了若干次。这本书不但在文字上便于所有的学者（因为他们都能读拉丁文），而且添了一篇评论，对笛卡尔的精致陈述加以阐发。在1659到1661的版本中，范斯库腾居然给出坐标变换——从一条基线（x轴）到另一条基线——的代数式。他如此深切地感到笛卡尔方法的力量，以至宣称希腊人就是用这个方法导出他们的结果的。按范斯库腾的说法，希腊人是先由代数工作看出怎样去综合地得出结果——范斯库腾说明如何做到这一步——然后发表那些没有代数方法显明的综合方法来惊世骇俗。范斯库腾可能误解了“分析”（这个词按希腊人的意思是分析某个问题）和“解析几何”（这个词特别描写笛卡尔把代数当作方法使用）的意义。

沃利斯在《论圆锥曲线》（DeSectionibus Conicis，1655）中，第一次得到圆锥曲线的方程。他是为了阐明阿波罗尼奥斯的结果，把阿波罗尼奥斯的几何条件翻译成代数条件，从而得到这些方程的。于是他把圆锥曲线定义为对应含x和y的二次方程的曲线，并证明这些曲线确实就是几何里的圆锥曲线。他很可能是第一个用方程来推导圆锥截线的性质的人。

他的书大大有助于传播坐标几何的思想，又有助于普及这样的处理法：把圆锥截线看作平面曲线，而不看作是圆锥与平面的交线，虽然这后一种看法仍继续流传着。此外，沃利斯强调代数推理是有效的，而笛卡尔至少在《几何》中实际上依靠几何，认为代数只是一种工具。沃利斯又是第一个有意识地引进负的纵横坐标的人。略晚一些，牛顿也这样做，可能是从沃利斯那里学来的。我们可以比较范斯库腾和沃利斯的说法，沃利斯说，阿基米德和几乎所有的古代人都把他们的探索和分析问题的方法对后辈如此保密，使近代人觉得发明一种新的分析法比寻找旧的还要容易些。

英国数学家沃利斯

牛顿的《流数法与无穷级数》（The Methodof Fluxions and Infinite Series）大约于1671年写成，但第一次出版的，却是科尔森（John Colson，死于1760年）的英译本，出版于1736年。此书包括坐标几何的许多应用，例如按方程描出曲线。书中创见之一，是引进新的坐标系。17甚至18世纪的人，一般只用一根坐标轴（x轴），其y值是沿着与x轴成直角或斜角的方向画出的。牛顿引进的坐标系之一，是用一个固定点和通过此点的一条直线作标准，略如我们现在的极坐标系。牛顿又引进了双极坐标，其中每点的位置决定于它至两个固定点的距离。由于牛顿的这个工作直到1736年才为世人所知，而雅各布·伯努利于1691年在《教师学报》（Acta Eruditorum）上发表了一篇基本上是关于极坐标的文章，所以通常认为雅各布·伯努利是极坐标的发现者。

1694年，雅各布·伯努利引进了双纽线，这个线在18世纪起了相当大的作用。这条曲线是一大族叫做卡西尼卵形线的一个特例。这族曲线是卡西尼（Jean-Dominique Cassini，1625—1712）引进的，但迟至1749年才由他的儿子卡西尼（Jacques Cassini，1677—1756）发表在《天文学初步》（Eléments d'astronomie）里。卡西尼卵形线（下图）的定义是：线上的任何点到两个固定点S1、S2的距离r1、r2的乘积等于常数b²。设S1与S2间的距离是2a，如果b>a，就得到一个没有自交点的卵形线。如果b=a，就得到双纽线。如果b<a，卵形线就分为两个。卡西尼卵形线的直角坐标方程是四次的。

笛卡尔引进了对数螺线，它的极坐标方程是ρ = aθ，并且发现了它的许多性质。

把坐标几何推广到三维空间，是在17世纪中叶开始的。在《几何》的第二卷中，笛卡尔指出，容易使他的想法运用到所有可以看作是一个点在三维空间中作规则运动时所产生的曲线。笛卡尔的计划是：从曲线的每个点作线段垂直于两个互相垂直的平面。这些线段的端点将分别在这两个平面上描出两条曲线，而这两条平面曲线就可用已知的方法处理。在第二卷的靠前一部分里，笛卡尔指出，一个含有三个未知数的方程代表的轨迹是一个平面、一个球面，或一个更复杂的曲面。他显然体会到他的方法可能推广到三维空间中的曲线和曲面，可是他没有进一步去考虑这种推广。

费马在1643年的一封信里，简短地描述了他的关于三维解析几何的思想。他谈到柱面、椭圆抛物面、双叶双曲面和椭球面。然后他说，作为平面曲线论的顶峰，应该研究曲面上的曲线。“这个理论，有可能用一个普遍的方法来处理，我有空闲时将说明这个方法。”在一篇只有半页长的文章（NovusSecundarum）里，他说，含有三个未知数的方程表示一个曲面。

拉伊尔在他的《圆锥截线新论》（Nouveauxélémens des sections coniques，1679）里，对三维坐标几何作了较为特殊的讨论。为了表示曲面，他先用三个坐标表示空间中的点P，然后实际写出了曲面的方程。尽管如此，三维坐标几何的发展，是18世纪里的事。

六、坐标几何的重要性

在费马和笛卡尔走上数学舞台之前，代数已有相当大的进展，鉴于这个事实，坐标几何不是一个巨大的技术成就。对费马来说，它是阿波罗尼奥斯工作的代数翻版。对笛卡尔来说，它几乎是一个偶然的发现，是他继续韦达和其他人的工作，利用代数来解决确定的几何作图问题时得到的。然而坐标几何却改变了数学的面貌。

笛卡尔辩论说，曲线是任何具有代数方程的轨迹。他这话一下子就扩大了数学的领域。

笛卡尔企图通过坐标几何来给几何引进新方法，他的成就远远超过他的期望。在代数的帮助下，不但能够迅速证明关于曲线的任何事实，而且这个探索问题的方式几乎成为自动的。这些认识在今天已经是平淡无奇的事了。这套研究方法甚至是更为有力的。当沃利斯和牛顿开始用字母代表正数、负数甚至以后代表复数时，就有了可能把综合几何中必须分别处理的情形，用代数来统一处理。例如，在综合几何中证明三角形的高交于一点时，必须分别考虑交点是在三角形内和三角形外，而用坐标几何来证，则不加区别。

坐标几何把数学造成一个双面的工具。几何概念可用代数表示，几何的目标可通过代数达到。反过来，给代数语言以几何的解释，可以直观地掌握那些语言的意义，又可以得到启发去提出新的结论。拉格朗日（Joseph-Louis Lagarange）曾把这些优点写进他的《数学概要》（Leçonsélémentaires sur les mathématiques）中：“只要代数同几何分道扬镳，它们的进展就缓慢，它们的应用就狭窄。但是当这两门科学结合成伴侣时，它们就互相吸取新鲜的活力，从那以后，就以快速的步伐走向完善。”的确，17世纪以来数学的巨大发展，在很大程度上应归功于坐标几何。

法国数学家拉格朗日

坐标几何的显著优点，在于它恰好提供了科学就已迫切需要的，而且在17世纪一直公开要求着的数学设备，即数量的工具。研究物理世界，似乎首先需要几何。物体基本上是几何的形象，运动物体的路线是曲线。笛卡尔认为全部物理都可以归结到几何。但是科学应用需要数量知识。坐标几何能把形象和路线表示为代数形式，从而导出数量知识。

因此代数变得比几何更为重要。事实上，坐标几何为倒换代数和几何的作用铺平了道路。从希腊时代到1600年，几何统治着数学，代数居于附庸的地位。1600年以后，代数成为基本的数学部门。在这作用的交替中，微积分将是决定的因素。不过，代数的升级加重了我们已经指出过的困难，即算术和代数没有逻辑基础。这个困难直到19世纪晚期还没有解决的办法。

代数建立在经验的基础上这一事实，引起了数学名词的混乱。费马和笛卡尔创立的科目，通常叫做解析几何。解析一词用在这里是不恰当的，叫坐标几何或代数几何较好（代数几何现在有另外的意义）。自柏拉图以后，解析一词指的是这样的过程：从所要证明的结论开始，往回做去，直至达到一些已知的东西为止。“解析”在这个意义下与“综合”相反，后者系指演绎的表述而言。约在1590年，韦达认为algebra（代数）一字在欧洲语言中没有意义，摒弃不用，而建议用analysis（解析）字样。他的建议没有被采用。但对韦达和笛卡尔来说，用“解析”一词来描写把代数应用到几何上还是恰当的，因为他们是用代数来分析几何作图问题的。因此奧扎南（Jacques Ozanam，1640—1717）在他的《词典》（Dictionary，1690）中说：“近代人用代数来进行分析。”在18世纪著名的《百科全书》（Encyclopèdie）中，达朗贝尔（Jean LeRond d'Alembert）把“代数”和“解析”当作同义词用。“解析”一词逐渐地变为专指代数方法而言，而新的坐标几何，大约直到18世纪末，在形式上几乎一律被描写成代数在几何上的应用。但是到了18世纪末年，“解析几何”已经成为标准的名词，常常用作书的名字。

法国数学家达朗贝尔

在代数变成一个突出的科目时，数学家就认为它的作用远远大于希腊人所理解的“对问题作分析”。在18世纪中，这样的看法——应用到几何上的代数，不像笛卡尔说的只是一种工具，而是像费马说的，它本身就是一个引进并研究曲线和曲面的基本方法——通过欧拉、拉格朗日和蒙日的工作而得到胜利。据此，“解析几何”一词含有证明和使用代数方法的意思，因而我们现在把解析几何和综合几何相提并论，不再认为一个是发明的手段，而另一个是证明的方法了。两者都是演绎的。

与此同时，微积分和无穷级数进入了数学。牛顿和莱布尼茨都认为微积分是代数的扩展；它是“无穷”的代数，或者是具有无穷多个项的代数，例如无穷级数。1797年，拉格朗日在他的《解析函数论》（Theórie des fonctions analytiques）中说，微积分及其以后的发展只是初等代数的一个推广。因为代数和解析是同义词，所以微积分也叫做解析。欧拉于1748年在一本著名的微积分教科书中，用“无穷小量分析”一词来描写微积分。这个名字直到19世纪晚期还在使用，当时解析一词是用来描写微积分和建筑在微积分上的那些分支的。这样就给我们遗留下来一个混乱的情况：“analysis”包括所有建立在极限过程上的数学，而“analytic geometry”则与极限过程无关。

下一讲：科学的数学化。