代数与几何的邂逅

1630年前后，两位法国的数学家，皮埃尔·德·费马和勒内·笛卡尔，分别将代数与几何联系在一起。

他们的研究工作开创了一个新的数学分支——解析几何，在这里方程变得生动，在xy平面里具体化、可视化。

不可思议的坐标系

今天，我们用xy坐标平面来描绘变量之间的关系。虽然这一切似乎显而易见，但这里却涉及几次想象力的跳跃。

首先，图表是抽象的，并且能使不同的数学域相互作用、彼此合作。

数域，比如两个相互关联的变量对应的具体数值，符号关系域，比如y=2x, 形状域，比如在两条垂直轴的坐标系里，落在一条直线上的点，等等。

通过这种思想的汇聚，很普通的图表，将数、变量关系和形状，混合在一起，实现了算术、代数与几何的融合。

经过几个世纪的独立发展，不同的数学分支此时聚集在一起，这完全有别于古希腊时几何学凌驾于算术和代数之上，几乎不会让它们相互结合。

其次，另一个想象力的跳跃，体现在水平轴和垂直轴。

这些坐标轴都是数轴，数被表示成坐标轴上的点。只是这么一个坐标系，算术与几何便结合起来了。

古希腊人的概念中，数只表示离散量，比如整数和分数，而那种可以用一条线的长度来度量的连续量，则被视为量值，它的概念分类与数截然不同。

从阿基米德生活的时代到17世纪初，将近两千年的岁月里，数都绝对不会被视同于一条直线上所有点的连续体。

也就是说，在古希腊思想体系下，数轴的概念，无异于离经叛道。

而现在的我们，却把这种司空见惯的数的直观表达，作为一种最为基础的数学思维，推广到小学阶段的数学启蒙。

方程与曲线

费马和笛卡尔应该从未利用xy平面去研究具体有形的事物，而是把xy平面当作研究纯粹几何学的工具。

在他们各自的研究过程中，两个人都发现，任意一个线性方程（x和y只以一次幂的形式出现的方程）在xy平面上，都可以表示成一条直线。

线性方程和直线之间的这种联系，会让人联想到有可能存在一种更深层次的联系，即非线性方程与曲线之间的联系。

费马和笛卡尔意识到，他们可以构建自己想要的任何方程，对x、y进行想要的任何变换，比如将一个平方，将另一个立方，再将它们相乘或者相加，然后把结果呈现为一种曲线。

这就好比让代数来驾车，而把几何安置在后座上一样。

费马和笛卡尔从二次方程入手，除了普通的常量和一次项之外，变量还可以平方或者相乘，产生像这样的二次项。

现如今的高中课程中，含有x和y的二次项的所有方程，其实只对应着四类曲线，即抛物线、椭圆、双曲线或者圆。

比如：二次方程是双曲线，是圆，是椭圆，即使是比较复杂的二次方程，其实也只是抛物线。如下图：

费马和笛卡尔最先发现了这种奇妙的巧合，含有x和y的二次方程是希腊人研究的圆锥截面的代数对应物，这四类曲线是以不同的角度切割圆锥体得到的。

在费马和笛卡尔把代数和几何结合起来搭建的新舞台上，经典曲线像幽灵一样从迷雾中再次现身。

代数和几何强强联手，势不可挡

费马和笛卡尔发现的代数和几何学之间的新联系，可以相互弥补对方的不足之处。

几何学直观而具象，命题的真实性一目了然。但它也需要某种创造力，因为人们常常不知道几何证明该从哪里入手，这时候就需要“神来一笔”了。

代数是系统性的，大可以随心所欲地“揉捏”方程，比如，在方程的两边添加相同的项，消去共同的项，求出未知量。再比如，按照同样的标准方法，去重复执行多个其他步骤和算法。

代数过程具有抚慰人心的重复性，就像织毛衣一样令人愉悦。但代数也饱受其看不见摸不着的虚无之苦，它没有任何形象化的东西，符号是空洞的，在被赋予意义之前，什么都不是。

所幸，代数和几何邂逅了，还联手了，从此必将势不可挡。

代数给了几何学一个体系，从此几何学会把需要洞察力的难题，转化为耗时耗力但却简单直接的计算，符号的使用节省了时间和精力。

几何赋予了代数意义，方程不再枯燥乏味，而是化身为弯曲有致的几何形状。当我们从几何的角度去看方程时，一个曲线和曲面的“新大陆”就会呈现在我们眼前。