导数与函数题的统一模板——如何构建F（x）

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与导数有关的函数题是每年省统，市统，甚至高考必考的题，形式变化万千，是区分度颇高的压轴题．许多中上水平的考生往往处理完第一问后，对二、三问或是目的性不强的匆忙求导形成“一堆烂账”、结果不仅得分较低、时间浪费．长此以往，对考生心理负面影响较大．追其根本原因，很多考生表现为不知道自己“起步”已经错误，具体的说：或对某一个函数F(x)求导目的不明确、或对F‘(x)的根的情况没有预判意识和预判，有些同学也知道要构建新函数F(x)，但为什么要新构造F(x)和如何构造F(x)不明确．

    数学教育家波利亚认为：“一个有责任心的教师与其穷于应付繁琐的数学内容和过量的题目，还不如适当选择某些有意义但又不太复杂的题目去帮助学生发掘题目的各个方面，在指导学生解题过程中，提高他们的才智与推理能力．”本文结合近年的高考题目，就解和导数有关的区分度颇高的函数题，如何走好“动一发而系全身”的第一步，谈如何构造F(x)，给出程序化的构建模式，以达到“好的开始是成功的一半”的目的．

1、和导数有关的函数题概述

和导数有关的区分度颇高的函数题包括：讨论含参(一元参数或二元参数)方程根的个数与范围；含参(一元参数或二元参数)的不等式证明、求含参函数的最值、单调区间；含参(一元参数或二元参数)不等式恒成立时、已知含参函数的最值、已知含参函数的单调区间，已知含参(一元参数或二元参数)方程根的个数与范围时反之求某参数的范围．题目形式虽然千变万化、层出不穷，但本质是一道题，本文为说明问题方便，不妨以F（x）≥g(x)的形式说明．

3、程序化构造F(x)的统一模式

1)直接法：令F（x）=f（x）-g（x）（左-右），或F1（x）/F2（x）1（x）-cF2（x）（见例2）

2)化积法：若f（x）-g（x）=h（x）k（x），令F（x）-k（x）（见例4）

3)放缩法：（见例3）

4)控元法：含参问题若已给出k的范围，由单调性控元消参，构建F（x）（F（x）无参）（见例1）

5)分离变量法：分离变量k≥k（x），令F（x）=k（x）

3、程序化构造F(x)的案例

案例l(2013全国卷Ⅱ理科压轴）已知函数，f(x)=ex-ln(x+m)．

(I)设m=0为y=f(x)的极值点，求m，并讨论f(x)的单调性；

(Ⅱ)当m≤2时，证明f(x)>0．

解答：

（1）略

（2）因为m≤2，所以ln(x+2)≥ln(x+m).(原因lnx为增函数)

 记F（x）=ex-ln(x+2),所以f(x)=ex-ln(x+m)≥F（x）

 欲证f(x)>0，只需证F（x）min>0即可(等价转化)

 F,（x）=ex-1/(x+2),

 因为二阶导数（F,（x）），=ex+1/(x+2)2>0,

 所以 F,（x）在在(一2，+∞)单调递增．

 又因为F,（0）=1-1/2=1/2，

  F,（-1）=1/e-1<0

 所以F,（x）有零点,设为a,即F,（a）=0有解.(零点存在定理，只设不求)

 所以ea=1/a+2,a=-ln(a+2),所以

 F（a）=ea-ln(a+2)=1/(a+2)+a=(a+1)2/(a+2)>0

 因为 F,（x）=ex-1/(x+2)为增函数，所以

 当x∈(一2，a)时F,（x）<0，F(x)单调递减；

 当x∈(a，+∞)时F,（x）>0，F(x)单调递增．所以

 F（x）min=F（a）=ea-ln(a+2)=1/(a+2)+a=(a+1)2/(a+2)>0

 因为f(x)>F（x），所以f(x)>0

【点评】本题是含参不等式的证明题，若不加思考直接采用构造F(x)=左一右，则在

 F,（x）=0出现死胡同，问题出在含参，此应该控元，将二变量变为一变量，使之常态化，那么如何控元呢?只要通过m≤O和lnx的单调性即可，本题用了控元法和放缩法．（注：本题答案为原创）

说明