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高中数学在遇到具体问题时，要观察和分析每一步是怎么得到的，怎么想到的，然后记下来思路。通过勤思多考虑，逐渐归纳总结规律，最终训练成自己的思维能力。Ex：端点效应、极值点偏移、双变量问题等等类型。前面文章对于端点效应和极值偏移问题，都有相关详细的讲述，有需要的可以翻翻前面文章。本文讲解一下双变量问题，高考导数的双变量问题是一个比较复杂的问题，需要灵活运用导数和函数的性质来解决。 导数的综合题中遇到双变量问题，两个变量都在变，难以寻找切入点。这类题要求的构造思维要求较高，涉及的知识点广，是难度较高的考题类型。【核心思路】：通过变换主元，将原问题转化为一个相对简单的新问题。【本质是利用大家将字母x作为自变量的误区】【变元三步】①变换主元：将原问题中的主元用其他变量替换，从而将原问题转化为一个新问题。②找到突破口：在解决问题的过程中，需要找到问题的突破口，即解决问题的关键点。③构造方程：根据问题的特点，构造适合的方程。【变更注意】①在解决问题时，需要找到适合的变量替换原问题中的主元。熟悉问题的特点：在运用变更主元思想时，需要熟悉问题的特点，从而找到解决问题的关键点。②善于观察和分析：在运用变更主元思想时，需要善于观察和分析问题的特点，从而找到适合的变量替换原问题中的主元。 解决双变量的方法和实例 【构造函数】通常需要构造一个与原函数相关的辅助函数，通过研究这个辅助函数的单调性和极值，来得出原函数的性质。 Ex：求证f(x,y)在(0,0)处取得极小值，其中f(x,y)的二阶偏导数连续，且fxx′′(0,0)>0。 【运用单调性定理】根据单调性定理，如果一个函数在某个区间内单调递增（或递减），那么该函数在该区间内的任意一点处的导数都大于等于（或小于等于）零。因此，可以通过判断函数的单调性来解决双变量导数问题。 Ex：已知函数f(x,y)满足fx(x,y)=x2+y2−1和fy(x,y)=2x+2y−3，求证：当x=0时，有f(x,y)>0。【利用极值判定定理】极值判定定理是指如果函数在某点的导数为零，并且该点处函数的二阶导数不为零，则该函数在这一点处取得极值。因此，可以通过判断函数的二阶导数是否为零来解决双变量导数问题。Ex：已知函数f(x,y)=x3+y3−3xy(x+y)，求证：当(x,y)=(0,0)时，有f(x,y)<0。【转化为一元函数】有时可以将双变量函数转化为一元函数来处理。例如，可以尝试将两个变量消去其中一个，转化为一个只含有一个变量的函数。或者可以尝试将两个变量合并成一个新的变量，转化为一个关于新变量的函数。【构造函数】在处理双变量导数问题时，可以通过构造函数来解决问题。例如，可以构造一个与原函数相关的辅助函数，通过研究这个辅助函数的性质来得出原函数的性质。【运用参数分离】当一个双变量函数中包含参数时，可以通过参数分离的方法将问题转化为两个一元函数的求解问题。【判断单调性】双变量函数的单调性可以由两个偏导数来决定。如果函数在某个区间内单调递增（或递减），那么它的两个偏导数在这个区间内都大于等于（或小于等于）零。【判断极值】要判断一个函数是否在某点处取得极值，需要先求出该点的驻点，即满足一阶偏导数为零的点。然后需要计算该点处的二阶偏导数，如果二阶偏导数为正，则该点处取得极小值；如果二阶偏导数为负，则该点处取得极大值。
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