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曲线构图的目标是根据f’(x)和f’’ (x)画出原函数f(x)的图像。 原函数：f(x) = 3x-x3 f’(x) = 3-3x2 f’’(x) = -6x 函数的凹凸性前提是：设f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内具有一阶和二阶导数。 如果函数f’(x) > 0，则f(x)在(a,b)内是递增的；如果f’(x) < 0，则f(x)在(a,b)内是递减的。这很好理解，f’(x)是f(x)在x点切线的斜率，只有函数递增时，切线的斜率才能大于0。 如果f’’(x) > 0，则f’递增；如果f’’(x) < 0，则f’递减。这相当于上一条结论的扩展，因为f’’是f’的导函数。 凹凸性： （1）若在(a,b)内f’’(x) < 0，则f(x)在(a,b)上的图形是凹的，f’递减，即f的切线斜率递减； （2）若在(a,b)内f’’(x) > 0，则f(x)在(a,b)上的图形是凸的，f’递增，即f的切线斜率递增。
上图中y=ex的二阶导数y’’=ex > 0，y=ex是凸的；y=lnx的二阶导数y’’=-1/x2<0，y=lnx是凹的。 奇怪的是，国内外的教材对凸凹的定义是不一样的。同济大学的教材中，f’’大于0，函数为凹，f’’小于0，函数为凸，跟上面的定义正好相反。在一些微积分教材中，有将凸称为上凸，凹成为下凸；还有反着叫的……越来越乱了。 极值点和驻点原函数f(x) = 3x-x3 f’(x) = 3 - 3x2 = 3(1-x2) 由此可以画出f(x)的简图：
(-1, -2)和(1, 2)是两个重要的点，经过这两个点后，f’的符号改变，f的递增递减发生变化，在这两个点上，f’(x)=0，这两个点称为函数的极值点。需要注意的是，极值点不是最值点，仅仅决定了导数的符号改变。 当f’(x0) = 0时，称x0为驻点，f(x0)为驻点值。原函数f(x)=3x-x3有±1两个驻点，对应的驻点值为±2。显然，极值点一定是驻点，但驻点不一定是极值点，因为驻点两侧的导数符号可能相同。如下图所示，y=x3的驻点x0=0，驻点两侧的导数符号相同，函数的增减性未发生变化：
拐点此时，我们已经得到原函数f(x)=3x-x3的两个极值点(1,2)(-1,-2)，再将x=0代入，得到第三个点(0,0)。 由于极值点确定了函数增减的改变，又知道f(x)=3x-x3是一个曲线，所以经过极值点的一定是一段弧线，f(x)的简图：
由此可知f’’(x0)=0是原曲线的凹凸分界点，称x0为f(x)的拐点。 有了拐点信息后就可以知道曲线凹凸性，即切线的变化率。 无限远端还有一点无法在有限的二维平面内展现，就是曲线的无限远端，但这并不妨碍我们对其探索。
由此可知曲线的两端向±∞方向无限延伸。 可以根据上述信息构图：
双曲函数构图下面是如何对双曲线f(x) = (x+1)/(x+2)构图。 双曲线函数有点特性了，在x=-2处没有定义，所以该函数是在x=-2处断开的。可以得到下面四个极限：
根据上面的极限可确定曲线的四个端点，它们都是无限远端，可以画出如下草图：
有点丑陋了，这不是我画的最漂亮的图。 接下来补充中间缺失的部分，如何确定中间是平滑的？会不会出现波浪形？这些信息需要由驻点确定。 f’(x)=1/(x+2)2, x≠-2 由于f’(x) > 0，所有f(x)在-2的两侧都是递增的；由于f’(x) ≠0，所以f’(x)没有驻点，函数在-2的两侧的增减性不会发生改变。 f’’(x) = -2/(x+2)3, x≠-2 f’’(x) > 0, -∞ < x < -2, 函数是凸的 f’’(x) < 0, -2 < x < +∞, 函数是凹的 f’’(x) ≠ 0, 函数没有拐点 二阶导数确定了曲线的弧度方向。 至此可以构图：
构图的一般步骤构图的一般步骤：
示例f(x) = x/lnx 按照上节的步骤构图。 1.找出奇点 当x=1是，lnx=0，f(x)无意义，奇点是x=1；由于使用了对数lnx，隐含的条件是x>0，所以可以得到下面两个极限：
此外，还可以知道f(0) = 0 2.标出无限远端
由于x的定义域是(0, +∞)且x≠1，所以x只能从正向趋近于0；由于lnx是x的高阶无穷小，所以第二个极限是+∞。目前的草图：
几乎可以断定剩余的部分的样子。 3.找出驻点，判断函数的递增和递减
f’(x) = 0，则x=e，f(e) = e/lne = e，仅有一个驻点 f’(x) < 0, 0 < x<1, 1< x < e，函数递减； f’(x) > 0, e < x，函数递增 代入一些简单值作为修饰后就可以作图了，可以省略求二阶导数，图像不会差太多。本例还是继续计算二阶导数。 4.观察二阶导数f’’的正负性，以便判断f(x)的凹凸
f’’(x) < 0, 0 < x <1, 函数是凹的 f’’(x) > 0, 1 < x < e2, 函数是凸的 f’’(x) < 0, e2 < x, 函数是凹的 f’’(x) = 0, x = e2, 拐点是e2 至此，可以构图了：
构图结果
真实图像 总结
作者：我是8位的 出处：http://www.cnblogs.com/bigmonkey 本文以学习、研究和分享为主，如需转载，请联系本人，标明作者和出处，非商业用途！
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