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已知函数f（x）=xex﹣a（lnx+x）． （1）若函数f（x）恒有两个零点，求a的取值范围； （2）若对任意x＞0，恒有不等式f（x）≥1成立． ①求实数a的值； ②证明：x2ex＞（x+2）lnx+2sinx． 考点分析： 导数在最大值、最小值问题中的应用；函数恒成立问题；不等式的证明． 题干分析： （1）利用导数的运算法则可得f′（x），对a分类讨论，当a≤0时，f'（x）＞0，故f（x）单调递增，舍去．当a＞0时，f'（x）=0有唯一解x=x0，此时ex0x0=a，求出极值，进而得出答案． （2）①当a≤0时，不符合题意．当a＞0时，由（1）可知，f（x）min=a﹣alna，故只需a﹣alna≥1．令t=1/a，上式即转化为lnt≥t﹣1，利用导数研究其单调性极值即可得出． ②由①可知x2ex﹣xlnx≥x2+x，因而只需证明：∀x＞0，恒有x2+x＞2lnx+2sinx．注意到前面已经证明：x﹣1≥lnx，因此只需证明：x2﹣x+2＞2sinx．对x分类讨论，利用导数研究函数的单调性极值即可得出． |
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