2019高考数学：导数压轴题——单调性解题程序，3 2讨论模板！

导数压轴题的三种热点题型之一是分类讨论，对于多变量题目一般先采用减少变量的方法，当题目化简成一式两参时，便可时进行分类计论。分类讨论的一般模式是3+2类型，即在三种分类讨论之下，其中一种情况下还要再分两层讨论。

由导数研究含参函数的单调性问题模板

根据导数与函数单调性的关系，由导函数f′(x)的符号得到函数的单调区间，研究函数的单调性问题其适用于所有的可导函数．破解此类题的关键点如下

①求导数，确定函数y=f(x)的定义域，根据基本初等函数的导数及求导法则求出函数f（x)的导函数f′(x)．

②讨论导函数的符号，不等式f′(x)>0的解集就是函数f(x)的单调递增区间，不等式f′(x)<0的解集就是函数f(x)的单调递减区间．

③得结论，根据上述解题过程，判定函数在每个相应区间上的单调性．

经典例题：

注意:利用导数解决函数的单调性问题时需要注意：

(1)求可导函数f(x)的单调区间，可以直接转化为求f′(x)>0与f′(x)<0这两个不等式的解集问题来处理；

(2)若可导函数f(x)在指定区间D上单调递增(减)，则将其转化为f′(x)≥0 (f′(x)≤0)来处理；

(3)如果一个函数具有相同的单调性且单调区间不止一个，这些单调区间不能用“∪”连接，只能用“，”或“和”连接；

(4)涉及合参数的函数的单调性或单调区间问题的求解时，一定要弄清楚参数对导函数f′(x)在某一区间内的符号是否有影响，若有影响，则必须分类讨论．

​经典例题：

已知函数f（x）=x2+2cosx，g（x）=ex（cosx﹣sinx+2x﹣2），其中e≈2.17828…是自然对数的底数．

（Ⅰ）求曲线y=f（x）在点（π，f（π））处的切线方程；

（Ⅱ）令h（x）=g （x）﹣a f（x）（a∈R），讨论h（x）的单调性并判断有无极值，有极值时求出极值．

解析：（Ⅰ）f（π）=π^2﹣2．f′（x）=2x﹣2sinx，∴f′（π）=2π．

∴曲线y=f（x）在点（π，f（π））处的切线方程为：y﹣（π^2﹣2）=2π（x﹣π）．

化为：2πx﹣y﹣π^2﹣2=0．

（Ⅱ）h（x）=g （x）﹣a f（x）=e^x（cosx﹣sinx+2x﹣2）﹣a（x^2+2cosx）

h′（x）=e^x（cosx﹣sinx+2x﹣2）+e^x（﹣sinx﹣cosx+2）﹣a（2x﹣2sinx）

=2（x﹣sinx）（e^x﹣a）=2（x﹣sinx）（e^x﹣e^(lna)）．

令u（x）=x﹣sinx，则u′（x）=1﹣cosx≥0，∴函数u（x）在R上单调递增．

∵u（0）=0，∴x＞0时，u（x）＞0；x＜0时，u（x）＜0．

（i）a≤0时，e^x﹣a＞0，∴x＞0时，h′（x）＞0，函数h（x）在（0，+∞）单调递增；

x＜0时，h′（x）＜0，函数h（x）在（﹣∞，0）单调递减．

∴x=0时，函数h（x）取得极小值，h（0）=﹣1﹣2a．

当a=1时，lna=0，函数h（x）在R上单调递增．

a＞1时，函数h（x）在（﹣∞，0），（lna，+∞）上单调递增；函数h（x）在（0，lna）上单调递减．当x=0时，函数h（x）取得极大值，h（0）=﹣2a﹣1．当x=lna时，函数h（x）取得极小值，h（lna）=﹣a[ln2a﹣2lna+sin（lna）+cos（lna）+2]．