已知函数f（x）=（ax2+bx+c）ex在[0，1]上单调递减且满足f（0）=1，f（1）=0．

（2012?江西）已知函数f（x）=（ax²+bx+c）e^x在[0，1]上单调递减且满足f（0）=1，f（1）=0．
（1）求a取值范围；
（2）设g（x）=f（x）-f′（x），求g（x）在[0，1]上的最大值和最小值．

考点：利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．

专题：综合题；压轴题；探究型；转化思想．

分析：（1）由题意，函数f（x）=（ax²+bx+c）e^x在[0，1]上单调递减且满足f（0）=1，f（1）=0，可求出函数的导数，将函数在[0，1]上单调递减转化为导数在[0，1]上的函数值恒小于等于0，再结合f（0）=1，f（1）=0这两个方程即可求得a取值范围；
（2）由题设条件，先给出g（x）=f（x）-f′（x）的解析式，求出导函数，g′（x）=（-2ax-a+1）e^x，由于参数a的影响，函数在[0，1]上的单调性不同，结合（1）的结论及g′（x）可得．
（i）当a=0时；（ii）当a=1时；（iii）当0＜a＜1时，分三类对函数的单调性进行讨论，确定并求出函数的最值

解答：解：（1）由f（0）=1，f（1）=0得c=1，a+b=-1，则f（x）=[ax²-（a+1）x+1]e^x，
∴f′（x）=[ax²+（a-1）x-a]e^x，
由题意函数f（x）=（ax²+bx+c）e^x在[0，1]上单调递减可得对于任意的x∈（0，1），都有f′（x）＜0
当a＞0时，因为二次函数y=ax²+（a-1）x-a图象开口向上，而f′（0）=-a＜0，所以只需要f′（1）=（a-1）e＜0，即a＜1，故有0＜a＜1；
当a=1时，对于任意的x∈（0，1），都有f′（x）=（x²-1）e^x＜0，函数符合条件；
当a=0时，对于任意的x∈（0，1），都有f′（x）=-xe^x＜0，函数符合条件；
当a＜0时，因f′（0）=-a＞0函数不符合条件；
综上知，a的取值范围是0≤a≤1
（2）因为 g（x）=f（x）-f′（x）=（ax²-（a+1）x+1）e^x-[ax²+（a-1）x-a]e^x=（-2ax+a+1）e^x，g′（x）=（-2ax-a+1）e^x，
（i）当a=0时，g′（x）=e^x＞0，g（x）在[0，1]上的最小值是g（0）=1，最大值是g（1）=e
（ii）当a=1时，对于任意x∈（0，1）有g′（x）=-2xe^x＜0，则有g（x）在[0，1]上的最小值是g（1）=0，最大值是g（0）=2；
（iii）当0＜a＜1时，由g′（x）=0得x=

1?a

2a

＞0，
①若

1?a

2a

≥1，即0＜a≤

1

3

时，g（x）在[0，1]上是增函数，所以g（x）在[0，1]上最大值是g（1）=（1-a）e，最小值是g（0）=1+a；
②若

1?a

2a

＜1，即

1

3

＜a＜1时，g（x）在x=

1?a

2a

取得最大值g（

1?a

2a

）=2ae

1?a

2a

，在x=0或x=1时取到最小值，
而g（0）=1+a，g（1）=（1-a）e，则
当

1

3

＜a≤

e1

e+1

时，g（x）在x=0取到最小值g（0）=1+a，
当

e1

e+1

≤a＜1时，g（x）在x=1取到最小值g（1）=（1-a）e

点评：本题考查利用导数求函数在闭区间上的最值，利用导数研究函数的单调性，此类题解题步骤一般是求导，研究单调性，确定最值，求最值，第一掌上明珠解题的关键是把函数在闭区间上递减转化为函数的导数在此区间上小于等于0恒成立，将单调递减的问题转化为不等式恒成立是此类题常用的转化思路，第二小题求含有参数的函数在某个区间上的最值，解题的关键是分类讨论确定出函数的最值，本题考查了转化的思想，推理判断的能力，计算量大，难度较大，极易因为判断不准转化出错或计算出错，常作为高考的压轴题．

******************************************

设函数为f(X)=ax2+bx+c,且f(1)=-a÷2 若a大于0，求证：函数在区间（0,2）内至少有一个零点。

a>0
f(1)=a+b+c=-a/2<0, 即b=-3a/2-c
f(0)=c
f(2)=4a+2b+c=4a+(-3a-2c)+c=a-c
若f(0)=c>0, 则f(0),f(1)异号，函数在（0，1）内至少有一个零点
若f(0)=c<=0,则 f(2)=a-c>0, 则f(0),f(2)异号，函数在（0，2）内至少有一个零点
故得证。

********************

设函数f(x)=ax2+bx+c且f(1)=，3a＞2c＞2b。．
(1)求的取值范围；
(2)求证：函数f(x)在区间（0，2）内至少有一个零点；
(3)设x1，x2是函数f(x)的两个零点，求|x1-x2|的范围．

解：（1），
∴，
可得，
解得：。
（2）假设在（0，2）上无零点，
因为a＞0，所以图像开口向上，且，
则有，即得a＜0与已知矛盾，
故假设不成立，
所以，函数在（0，2）上至少有一个零点。
（3），
，
可得，
∴。

*******************************

 已知函数f（x）=asinx-x+b（a＞0，b＞0）．
（1）求证：函数f（x）在区间[0，a+b]内至少有一个零点；
（2）若函数f(x)在x＝
π
3处取得极值．
（i）不等式f（x）＞sinx+cosx对任意x∈[0，
π
2
]恒成立，求b的取值范围；
（ii）设△ABC的三个顶点A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3）在函数f（x）的图象上，且
π
3
＜x1＜x2＜x3＜
π
3，求证：f（sin2A+sin2C）＜f（sin2B）．
考点：函数恒成立问题；函数的零点；正弦定理；余弦定理．
专题：综合题；函数的性质及应用．
分析：（1）利用f（0）=b＞0，f（a+b）=asin（a+b）-a-b+b=a[sin（a+b）-1]≤0，可得函数f（x）在（0，a+b]内至少有一个零点；
（2）根据函数f(x)在x＝
π
3处取得极值，可得a=2
（i）不等式f（x）＞sinx+cosx等价于b＞cosx-sinx+x对于任意x∈[0，
π
2
]恒成立，构造函数g（x）=cosx-sinx+x，求函数的最大值，即可求b的取值范围；
（ii）确定函数f（x）在（
π
3
，
π
3）上是单调递增函数，从而可得y1＜y2＜y3，利用向量的夹角公式、余弦定理、正弦定理可得sin2A+sin2C＜sin2B，再利用函数f（x）在（
π
3
，
π
3）上是单调递增函数，即可证得结论．
解答：（1）证明：∵函数f（x）=asinx-x+b，a、b均为正的常数
∴f（0）=b＞0，f（a+b）=asin（a+b）-a-b+b=a[sin（a+b）-1]≤0
∴函数f（x）在（0，a+b]内至少有一个零点；
（2）解：f′（x）=acosx-1，
∵函数f(x)在x＝
π
3处取得极值，∴f′（
π
3）=0
∴acos
π
3-1=0，∴a=2
（i）不等式f（x）＞sinx+cosx等价于b＞cosx-sinx+x对于任意x∈[0，
π
2
]恒成立
设g（x）=cosx-sinx+x，∴g′（x）=-sinx-cosx+1=-
2sin（x+
π
4）+1
∵x∈[0，
π
2
]，∴x+
π
4
∈[
π
4
，
3π
4
]，∴sin（x+
π
4）∈[
2
2
，1]
∴
2sin（x+
π
4）∈[1，
2]
∴g′（x）≤0
∴g（x）=cosx-sinx+x在[0，
π
2]上是单调减函数，且最大值为g（0）=1
∴b＞1；
（ii）证明：当x∈（
π
3
，
π
3）时，cosx＞
1
2，∴f′（x）=2cosx-1＞0，
∴函数f（x）在（
π
3
，
π
3）上是单调递增函数
∵A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3）在函数f（x）的图象上，且
π
3
＜x1＜x2＜x3＜
π
3，
∴y1＜y2＜y3
∵cos∠ABC=
BA
BC
|
BA
||
BC
|=
(x1x2)(x3x2)+(y1y2)(y3y2)
|
BA
||
BC
|
∴cos∠ABC＜0
由余弦定理，cos∠ABC=
|AB|2+|BC|2|AC|2
2|AB||BC|＜0
∴|AB|2+|BC|2＜|AC|2
由正弦定理可得：sin2A+sin2C＜sin2B
∴sin2A+sin2C、sin2B∈（0，1）?（
π
3
，
π
3）
∵函数f（x）在（
π
3
，
π
3）上是单调递增函数
∴f（sin2A+sin2C）＜f（sin2B）．
点评：本题考查函数的零点，考查导数知识的运用，考查函数的单调性，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．