高中数学竞赛讲义（十四） ──极限与导数

昵称3826483 2013-12-08

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高中数学竞赛讲义（十四）

──极限与导数

一、基础知识

1．极限定义：（1）若数列{u_n}满足，对任意给定的正数ε，总存在正数m，当n>m且n∈N时，恒有|u_n-A|<ε成立（A为常数），则称A为数列u_n当n趋向于无穷大时的极限，记为，另外=A表示x大于x₀且趋向于x₀时f(x)极限为A，称右极限。类似地表示x小于x₀且趋向于x₀时f(x)的左极限。

2．极限的四则运算：如果f(x)=a, g(x)=b，那么[f(x)±g(x)]=a±b, [f(x)?g(x)]=ab,

3.连续：如果函数f(x)在x=x₀处有定义，且f(x)存在，并且f(x)=f(x₀)，则称f(x)在x=x₀处连续。

4．最大值最小值定理：如果f(x)是闭区间[a,b]上的连续函数，那么f(x)在[a,b]上有最大值和最小值。

5．导数：若函数f(x)在x0附近有定义，当自变量x在x₀处取得一个增量Δx时（Δx充分小），因变量y也随之取得增量Δy(Δy=f(x₀+Δx)-f(x₀)).若存在，则称f(x)在x₀处可导，此极限值称为f(x)在点x₀处的导数（或变化率），记作(x₀)或或，即。由定义知f(x)在点x₀连续是f(x)在x₀可导的必要条件。若f(x)在区间I上有定义，且在每一点可导，则称它在此敬意上可导。导数的几何意义是：f(x)在点x₀处导数(x₀)等于曲线y=f(x)在点P(x₀,f(x₀))处切线的斜率。

6．几个常用函数的导数：（1）=0（c为常数）；（2）（a为任意常数）；（3）(4);(5);(6);（7）；（8）

7．导数的运算法则：若u(x),v(x)在x处可导，且u(x)≠0,则

（1）；（2）；（3）（c为常数）；（4）；（5）。

8．复合函数求导法：设函数y=f(u),u=(x)，已知(x)在x处可导，f(u)在对应的点u(u=(x))处可导，则复合函数y=f[(x)]在点x处可导，且（f[(x)]=.

9.导数与函数的性质：（1）若f(x)在区间I上可导，则f(x)在I上连续；（2）若对一切x∈(a,b)有，则f(x)在(a,b)单调递增；（3）若对一切x∈(a,b)有，则f(x)在(a,b)单调递减。

10．极值的必要条件：若函数f(x)在x₀处可导，且在x₀处取得极值，则

11.极值的第一充分条件：设f(x)在x0处连续，在x₀邻域(x₀-δ,x₀+δ)内可导，（1）若当x∈(x-δ,x₀)时，当x∈(x₀,x₀+δ)时，则f(x)在x₀处取得极小值；（2）若当x∈(x₀-δ，x₀)时，当x∈(x₀,x₀+δ)时，则f(x)在x₀处取得极大值。

12．极值的第二充分条件：设f(x)在x₀的某领域(x₀-δ,x₀+δ)内一阶可导，在x=x₀处二阶可导，且。（1）若，则f(x)在x₀处取得极小值；（2）若，则f(x)在x₀处取得极大值。

13．罗尔中值定理：若函数f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)上可导，且f(a)=f(b)，则存在ξ∈(a,b)，使

[证明] 若当x∈(a,b)，f(x)≡f(a)，则对任意x∈(a,b)，.若当x∈(a,b)时，f(x)≠f(a)，因为f(x)在[a,b]上连续，所以f(x)在[a,b]上有最大值和最小值，必有一个不等于f(a)，不妨设最大值m>f(a)且f(c)=m，则c∈(a,b)，且f(c)为最大值，故，综上得证。

14．Lagrange中值定理：若f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)上可导，则存在ξ∈(a,b)，使

[证明] 令F(x)=f(x)-,则F(x)在[a,b]上连续，在(a,b)上可导，且F(a)=F(b)，所以由13知存在ξ∈(a,b)使=0，即

15．曲线凸性的充分条件：设函数f(x)在开区间I内具有二阶导数，（1）如果对任意x∈I,,则曲线y=f(x)在I内是下凸的；（2）如果对任意x∈I,,则y=f(x)在I内是上凸的。通常称上凸函数为凸函数，下凸函数为凹函数。

16．琴生不等式：设α₁,α₂,…,α_n∈R⁺，α₁+α₂+…+α_n=1。（1）若f(x)是[a,b]上的凸函数，则x₁,x₂,…,x_n∈[a,b]有f(a₁x₁+a₂x₂+…+a_nx_n)≤a₁f(x₁)+a₂f(x₂)+…+a_nf(x_n).

二、方法与例题

1．极限的求法。

例1 求下列极限：（1）；（2）；（3）；（4）

[解]（1）=；

（2）当a>1时，

当0<a<1时，

当a=1时，

（3）因为

而

所以

（4）

例2 求下列极限：（1）(1+x)(1+x²)(1+)…(1+)(|x|<1)；

（2）；（3）。

[解] （1）(1+x)(1+x²)(1+)…(1+)

（2）

（3）

2．连续性的讨论。

例3 设f(x)在(-∞,+∞)内有定义，且恒满足f(x+1)=2f(x)，又当x∈[0,1)时，f(x)=x(1-x)²，试讨论f(x)在x=2处的连续性。

[解] 当x∈[0,1)时，有f(x)=x(1-x)²，在f(x+1)=2f(x)中令x+1=t，则x=t-1，当x∈[1,2)时，利用f(x+1)=2f(x)有f(t)=2f(t-1)，因为t-1∈[0,1),再由f(x)=x(1-x)²得f(t-1)=(t-1)(2-t)²,从而t∈[1,2)时,有f(t)=2(t-1)?(2-t)²；同理，当x∈[1,2)时，令x+1=t，则当t∈[2,3)时，有f(t)=2f(t-1)=4(t-2)(3-t)².从而f(x)=

所以，所以f(x)=f(x)=f(2)=0，所以f(x)在x=2处连续。

3．利用导数的几何意义求曲线的切线方程。

[解] 因为点(2,0)不在曲线上，设切点坐标为(x₀,y₀)，则，切线的斜率为，所以切线方程为y-y₀=，即。又因为此切线过点（2,0），所以，所以x₀=1，所以所求的切线方程为y=-(x-2)，即x+y-2=0.

4．导数的计算。

例5 求下列函数的导数：（1）y=sin(3x+1)；（2）；（3）y=e^cos2x；（4）；（5）y=(1-2x)^x(x>0且)。

[解] （1）3cos(3x+1).

(2)

（3）

（4）

（5）

5．用导数讨论函数的单调性。

例6 设a>0，求函数f(x)=-ln(x+a)(x∈(0,+∞))的单调区间。

[解] ，因为x>0,a>0，所以x²+(2a-4)x+a²>0；x²+(2a-4)x+a+<0.

（1）当a>1时，对所有x>0，有x²+(2a-4)x+a²>0，即(x)>0,f(x)在(0,+∞)上单调递增；（2）当a=1时，对x≠1,有x²+(2a-4)x+a²>0，即，所以f(x)在（0，1）内单调递增，在（1，+∞）内递增，又f(x)在x=1处连续，因此f(x)在(0,+∞)内递增；（3）当0<a<1时，令，即x²+(2a-4)x+a²>0，解得x<2-a-或x>2-a+，因此，f(x)在(0,2-a-)内单调递增，在(2-a+,+∞)内也单调递增，而当2-a-<x<2-a+时，x²+(2a-4)x+a₂<0，即，所以f(x)在(2-a-,2-a+)内单调递减。

6．利用导数证明不等式。

例7 设，求证：sinx+tanx>2x.

[证明] 设f(x)=sinx+tanx-2x，则=cosx+sec²x-2，当时，（因为0<cosx<1），所以=cosx+sec²x-2=cosx+.又f(x)在上连续，所以f(x)在上单调递增，所以当x∈时，f(x)>f(0)=0，即sinx+tanx>2x.

7.利用导数讨论极值。

例8 设f(x)=alnx+bx²+x在x₁=1和x₂=2处都取得极值，试求a与b的值，并指出这时f(x)在x₁与x₂处是取得极大值还是极小值。

[解] 因为f(x)在(0,+∞)上连续，可导，又f(x)在x₁=1，x₂=2处取得极值，所以，又+2bx+1，所以解得

所以.

所以当x∈(0,1)时，，所以f(x)在(0,1]上递减；

当x∈(1,2)时，，所以f(x)在[1，2]上递增；

当x∈(2,+∞)时，，所以f(x)在[2，+∞）上递减。

综上可知f(x)在x₁=1处取得极小值，在x₂=2处取得极大值。

例9 设x∈[0,π],y∈[0,1]，试求函数f(x,y)=(2y-1)sinx+(1-y)sin(1-y)x的最小值。

[解] 首先，当x∈[0,π],y∈[0,1]时，

f(x,y)=(2y-1)sinx+(1-y)sin(1-y)x=(1-y)²x=(1-y)²x，令g(x)=,

当时，因为cosx>0,tanx>x，所以；

当时，因为cosx<0,tanx<0,x-tanx>0，所以；

又因为g(x)在(0,π)上连续，所以g(x)在(0,π)上单调递减。

又因为0<(1-y)x<x<π，所以g[(1-y)x]>g(x)，即，

又因为，所以当x∈(0,π),y∈(0,1)时，f(x,y)>0.

其次，当x=0时，f(x,y)=0；当x=π时，f(x,y)=(1-y)sin(1-y)π≥0.

当y=1时，f(x,y)=-sinx+sinx=0；当y=1时，f(x,y)=sinx≥0.

综上，当且仅当x=0或y=0或x=π且y=1时，f(x,y)取最小值0。

三、基础训练题

1．=_________.

2．已知，则a-b=_________.

3．_________.

4．_________.

5．计算_________.

6．若f(x)是定义在(-∞,+∞)上的偶函数，且存在，则_________.

7．函数f(x)在(-∞,+∞)上可导，且，则_________.

8．若曲线f(x)=x⁴-x在点P处的切线平行于直线3x-y=0，则点P坐标为_________.

9．函数f(x)=x-2sinx的单调递增区间是_________.

10．函数的导数为_________.

11．若曲线在点处的切线的斜率为，求实数a.

12.求sin29⁰的近似值。

13．设0<b<a<,求证：

四、高考水平练习题

1．计算=_________.

2．计算_________.

3．函数f(x)=2x³-6x²+7的单调递增区间是_________.。

4．函数的导数是_________.

5．函数f(x)在x₀邻域内可导，a,b为实常数，若，则_________.

6．函数f(x)=e^x(sinx+cosx),x的值域为_________.

7．过抛物线x²=2py上一点(x₀,y₀)的切线方程为_________.

8．当x>0时，比较大小：ln(x+1) _________x.

9.函数f(x)=x⁵-5x⁴+5x³+1,x∈[-1,2]的最大值为_________，最小值为_________.

10．曲线y=e^-x(x≥0)在点M(t,e^-t)处的切线l与x轴、y轴所围成的三角形面积为S(t)，则S(t)的最大值为_________.

11．若x>0，求证：(x²-1)lnx≥(x-1)².

12．函数y=f(x)在区间(0,+∞)内可导。导函数是减函数，且>0，x₀∈(0,+∞).y=kx+m是曲线y=f(x)在点(x₀,f(x₀))处的切线方程，另设g(x)=kx+m，（1）用x₀,f(x₀),表示m；（2）证明：当x∈(0,+∞)时，g(x)≥f(x)；（3）若关于x的不等式x²+1≥ax+b≥在(0,+∞)上恒成立，其中a,b为实数，求b的取值范围及a,b所满足的关系。