微积分–导数篇(1):什么是导数？

导数是高数中的重要概念，被应用于多种学科。

从物理意义上讲，导数就是求解变化率的问题；从几何意义上讲，导数就是求函数在某一点上的切线的斜率。

我们熟知的速度公式：v = s/t，这求解的是平均速度，实际上往往需要知道瞬时速度：

当t趋近于t0，即t-t0趋近于0时，得到的就是顺时速度。设Δt=t-t0，s是t的函数s=f(t)，瞬时速度用数学表示就是：

为什么s=f(t)呢？请看下图：

将横轴作为距离，以时间为单位分隔，在t0时间经过的距离是f(t0)=S0，在t时间经过的距离是f(t)=s

在几何上，如下图所示：

直线a与曲线相切于点Q，直线b与曲线相割于点Q和点P。b的斜率，k=(y-y0)/(x-x0)，当b以Q为轴心沿着曲线旋转时，铉长|PQ|趋近于0，即x->x0时，极限存在：

有上述两个问题可以看出，变化率和切线的问题都可以归结为下面的公式：

定义Δx = x-x0, Δy = y - y0 = f(x) – f(x0) = f(x0 + Δx) - f(x0)，上面的公式可以写成：

由此得出导数的概念，设函数y=f(x)在点x0的某个邻域内有定义，当自变量x在x0处取得增量Δx（点x0+Δx仍在该邻域内）时，相应地函数y取得增量Δy；如果Δy与Δx之比当Δx->0时的极限存在，则称函数y=f(x)在点x0处可导，并称这个极限为函数y=f(x)在点x0处的导数，记作f’(x0) ：

也记作：

简写为：

1/x求导

根据导数公式，代入f(x) = 1/x

这就OK了，所以说导数很简单，因为它仅有一个公式，但没完，因为上式没有任何意义，仅仅是看起来更复杂了。如果我们直接观察导数公式，对于所有求导，当Δx->0时，分母为0，所以必须将导数进一步简化。

需要注意的是，求f’(x)的完整说法是求f(x)在定义域某一点的导数，所以x是已知的，求某一点的导数，当然要知道这个点是什么。

求切线所在三角形的面积

如下图所示，直线MN是曲线1/x的切线，切点是(x0,y0)，求S△MON

S△MON = 1/2(MO * ON)，已知条件是切点(x0,y0)，需要求解的未知条件是MO和NO。

直线MN的公式是y=kx+b，根据上节的介绍，1/x在（x0,y0）的导数是MN的斜率 -1/x02，代入得：

y0=-1/x02 + b =>

1/x0 = (-1/x02) x0+ b =>

b = 2/x0

设N点的坐标是(x,0)，代入y=kx+b得：

0=(-1/x02)x+2/x0 => x = 2x0

即OM = 2x0

同理，MO=2y0

S△MON = 1/2(MO * ON) = 1/2(2x02y0) = 1/2(2x0)(2/x0) = 2

幂函数求导

f(x) = Xn的导数：f’(x) = nxn-1

例：(3x6)’ = 3 * 6x6-1 = 18x5

该公式可以扩展到多项式中：

(3x3 + 6x10)' = 3 * 3x3-1 + 6 * 10 x10-1 = 9x2 + 60x9

sin和cos求导

下面是sinx和cosx的去曲线图：

sinx

cosx

sin0°= 0，sin90°= sin(π/2) = 1

求导时需要用到几个公式：

1、2不解释，3、4后面会给出证明：

(sinx)’

(cosx)’

为什么会有公式3、4

，需要从几何意义上证明。

上图是一个单位圆，将Δx用θ替换。由于单位圆r=1，弧长MN=(2πr ) (θ/360) = (2πr)(θ/2π) =θ。

公式3：

当θ趋近于0时，PN比弧长MN更快地趋近于0，所以公式3成立。

公式4：sinθ=MP/OM=MP. 当θ趋近于0时，MP越来越趋近与MN（趋近但不等于0），所以：

函数可导的条件

如果一个函数的定义域为全体实数，即函数在其上都有定义，那么该函数是不是在定义域上处处可导呢？答案是否定的。函数在定义域中一点可导需要一定的条件：函数在该点的左右两侧导数都存在且相等。这实际上是按照极限存在的一个充要条件（极限存在，它的左右极限存在且相等）推导而来。

可导的函数一定连续；连续的函数不一定可导，不连续的函数一定不可导。

下面是两个不可导的例子：

f(x)=x1/3

f(x)=x1/3，f’(x)=x-2/3/3在x=0处分母为0，所以在x=0处不可导。实际上该函数在x=0处的切线是y轴，导数趋近于无穷，不符合导数的定义。

f(x)=|x|

几何上，切线指的是一条刚好触碰到曲线上某一点的直线。更准确地说，当切线经过曲线上的某点（即切点）时，切线的方向与曲线上该点的方向是相同的。f(x)=|x|在x=0点时，曲线没有唯一方向，即在x=0点没有切线，所以该函数在x=0点不可导。

总结

1.导数的物理意义：描述变化率，几何意义：切线的斜率

2.导数公式:

3.基本函数求导公式

1) (C)’ = 0

2) (1/x)’ = -1/x2

3) (xn)’ = nxn-1

4) (sinx)’ = cosx

5) (cosx)’=-sinx

4.可导的充要条件，它的左右极限存在且相等；可导的函数一定连续；连续的函数不一定可导，不连续的函数一定不可导。