[转帖]扑克牌中的数学游戏2

 

 

作者: 寒江雪

　　有一种叫“24点”的游戏深受青少年朋友的喜爱。这种游戏将两张王牌去掉，把A、J、Q、K分别看作1点，11点、12点、13点，或者将它们均看1点，其余牌面是几点，就是几点。

　　玩的规则不尽相同，其中有一种方法是：

　　(1)四个人每人抓到13张牌，每人每次从手中任意抽取一张牌。

　　(2)参加游戏者对这四张牌所代表的数值进行+、-、×、÷、()运算，使结果为24。

　　(3)谁先列出，谁就得1分，牌入底；若四人均无法列出，则无人得分，牌也入底。

　　(4)再次每人任意抽取一张牌，再次按(2)(3)规则进行。

　　(5)重复(2)、(3)、(4)，直至每人手中13张牌全部用完为一局，得分多者为胜。

　　例如，抽出的四张牌为3、4、7、11，可以这样计算：

　　(7-4)×(11-3)=3×8=24，或(7+11)÷3×4=18÷3×4=6×4=24

　　这是一种非常有趣的游戏，下面我们一起来试一试：

　　例1  抽出下面四组牌：(A，J，Q，K分别为1点，11点，12点，13点)

　　(1)2，3，4，5         (2)3，4，5，10

　　(3)K，7，9，5         (4)J，6，Q，5

　　你能算出24点吗？

　　分别：要想比赛获胜，必须有一些技巧。那就是要非常清楚24可以由怎样的两个数求得，如2×12=24，4×6=24，3×8=24，18+6=24，30-6=24……这样就可以把问题转化成怎样使用4个数，凑出两个数的问题，其中有一点值得大家注意，就是四个数的顺序可以依据需要任意安排。

　　解：(1)依据2×12=24，可得2×(3+4+5)=24，

　　(2)依据3×8=12，可得3×(10÷5×4)=24，

　　(3)依据4×6=24，可得(13-7)×(9-5)=24，

　　(4)依据18+6=24，可得(11-5)+(6+12)=24

　　说明：上面各题的解法并不一定是唯一的，如依据4×6=24，也可得第(2)组为4×(10×3÷5)=24，可是，就因为这样，才非常激烈、刺激。

　　例2  如果恰巧四个人抽出的扑克牌是“1～9”中的同一数字的牌，请你帮忙想一想哪种情况可以算出“24”？怎样算？

　　分析：四人抽出同一数字的牌有9种情况，4个1，4个3，4个4……4个8，4个9，现在的问题转化为如何使四个相同的数字(1~9中的一个)填加运算符号，得“24”的问题。由于4个数字相同，用乘法关系最后求得“24”就不太容易，应考虑+、-关系，27-3=24，25-1=24，20+4=24，12+12=24……经过尝试，我们发现，4个1，4个2，由于数太小，无法算出“24”，而4个7，4个8，4个9由于太大，也无法算出。其余可以实现。

　　解：依据27-3=24 ，可得3×3×3-3=24，

　　依据20+4=24 ，可得4×4+4+4=24，

　　依据25-1=24 ，可得5×5-5÷5=24，

　　依据12+12=24 ，可得(6+6)+(6+6)=24，

　　说明：有些不能算出24，可能是由于我们知识水平的限制，而并非真的不能，如请同学们想一想4个10，4个11，4个12，4个13你能求解吗？

　　由上面的例子，我们可以很自然地想到这种游戏可以发展成一类专门的数学的问题，下面我们就来研究。

　　例3  填上适当的运算符号，使算式成立

　　(1)4 4 4 4=5

　　(2)4 4 4 4=6

　　(3)4 4 4 4=7

　　(4)4 4 4 4=8

　　(5)4 4 4 4=9

　　(6)4 4 4 4=10

　　分析：(1)4 4 4 4=5，最后一个4前面是三个4，如可凑出1，1+4=5，如可凑出20，20÷4=5，4×4 +4=20，因此可求解。

　　(2)4 4 4 4=6，最后一个4前面是三个4，如可凑出2，2+4=6；即(4+4)÷4=2，因此可求解。

　　(3)4 4 4 4=7，前面两个4+4=8，后面两个4得1即可求解，4÷4=1刚刚好。

　　(4)和(6)可利用(3)的思路稍加变化就可以求解。

　　(5)4 4 4 4=10，最后一个4，前面如是6，6+4=10可求解，但不易做到。如前面是40，40÷4=10也可以求解，44-4=40，数字连用在这类题目中是常用的一种技巧。(题目中没有限制，当然是可以这样做的)。

　　解：

　　(1)(4×4+4)÷ 4=5

　　(2)(4+4)÷4+4=6

　　(3)(4+4)-4÷4=7

　　(4)(4+4)×4÷4=8

　　(5)(4+4)+4÷4=9

　　(6)(44-4)÷4=10

　　说明：(1)，(2)，(6)中的解题思路是一种倒推的方法，这是一种常用的，行之有效的方法同学们加以掌握。(4)，(5)中解题思路是依据数字的特点，这种方法，依赖于良好的数感，需要大家经过一段时间的训练才能获得。

　　例4  不用()，且运算符号不超过三次，添在适当位置，使下面的算式成立。

　　9 9 9 9 9 9 9 9 9=1000

　　分析：不使用()，运算顺序只能从左往右，先×、÷后+、-；运算符号不超过三次，就会得到一些多位数。首先选一个多位数尽可能接近1000，可选999，1000-999=1，后面6个 9要得到“1”，就很简单了999÷999，问题可求解；还可以用另一种方法接近1000，9999÷9=1111，1111-1000=111，后面9999想办法等于111，999÷9=111，问题也可解出。

　　解：999+999÷999=1000

　　9999÷9-999÷9=1000

　　说明：先靠近所求数，再进行适当调整，这是一种非常行之有效的方法，在数字比较多时常常用到。当然此题还有其它方法，同学们

　　可以用上面的思路再试一试。

　　例5  填入适当运算符号，使下式成立。

　　9 8 7 6 5 4 3 2 1=1000

　　分析：此题中9~1九个数字各不相同，位置固定，初看与前面的例题有很大不同，但是经仔细读题，认真分析，我们可以发现，做此题时，+、-、×、÷()均可使用，运算符号用多少次没有限制，数字可以连用，也可以分开，条件很宽松。由于1000数比较大，我们也采用例4中靠近结果，再凑较小数的方法解决。可以用987+6=993，再用5 4 3 2 1凑成7即可，这个方法就很多了。还可以取前边987和后边的21相加得1008，中间的6 5 4 3 凑成8就行了。

　　解：987+6+5-4+3×2×1=1000

　　987+6+5+4-3+2-1=1000

　　987+6+(5-4)×(3×2+1)=1000

　　987+6+5+(4-3)×2×1=1000

　　987-(6-5+4+3)+21=1000

　　说明：此题还有许多解决，但不论哪种方法，都遵循先靠近结果，再凑较少数的原则，大家可以再想想，你还能想到什么方法？

　　例6  在下列算式中合适的地方，填上括号，使算式成立。

　　(1)4+5×6+8÷4-2=30

　　(2)4+5×6+8÷4-2=39

　　(3)4+5×6+8÷4-2=21

　　(4)4+5×6+8÷4-2=140

　　分析：(1)从最后一步逆推，减2前面的式子得32，还从后面入手，这就需要4+5×6+8，填上适当的括号得128，尝试发现括号的填法有两种(4+5)×6+8，4+5×(6+8)，分别得128，74，因此括号的填法为[(4+5)×6+8] ÷4-2=30

　　(2)从最后一步逆推，减号前面的式子要得41，还从后面入手要求4+5×6+8=41×4这是无法实现的。从前面入手考虑，就应设法使5×6+8÷4-2=35，还从前面想这就需要6+8÷4-2=7，可从这样实现(6+8)÷(4-2)。因此括号的填法为4+5×(6+8)÷(4-2)=39

　　(3)从后面减2前面的式子得23才能有解，可4+5×6+8÷4无论如何填加括号，都不可能现实。把4-2放在一个括号里等于2，i除号前面的式子就要得42，通过观察容易发现，4+5×6+8按顺序计算就可得42，所以此题括号的填法是(4+5×6+8)÷(4-2)=21

　　(4)140比较大，应充分发挥“×”的作用，使“×”左右两侧的因数尽可能大，即(4×5)×(6+8)=280，再缩小2倍，就是所求结果，正好“÷”后面4-2=2，所以此题括号的填法是(4×5)×(6+8)÷(4-2)=140

　　解：

　　(1)[(4+5)×6+8]÷4-2=30

　　(2)4+5×(6+8)÷(4-2)=39

　　(3)(4+5×6+8)÷(4-2)=21

　　(4)(4×5)×(6+8)÷(4-2)=140

　　说明：填括号时既可以用“()”，也可以根据需要用“[]”，从一端想起经过尝试，淘汰，最终可以找到解题方法。

　　阅读材料

　　数学符号的起源

　　数学除了记数以外，还需要一套数学符号来表示数和数、数和形的相互关系。数学符号的发明和使用比数字晚，但数量多得多。现在常用的200多个，初中数学书里就不下20多种。他们都有一段有趣的经历。例如：(1)加号曾经有好几种，现在通用“+”号。“+”号是由拉丁文“et”(“和”的意思)演变而来的。也有人说，卖酒的商人用“-”表示酒桶里的酒卖了多少。以后，当把新酒灌入大桶的时候，就在“-”上加一竖，意思是把原线条勾销。这样就成了个“+”号。到了十五世纪，德国数学家魏德美正式确定：“+”用作加号，“-”号用作减号。(2)乘号曾经用过十几种，现在通用两种。一个是“×”，最早是英国数学家奥屈特1631年提出的；一个是“•”，最早是英国数学家赫锐奥特首创的。德国数学家莱布尼茨认为：“×”向拉丁字母“X”，加以反对，而赞成用“• ”号。到了十八世纪，美国数学家欧德莱确定，把“×”作为乘号，他认为“×”是“+”斜起来写，是另一种表示增加的符号。(3)“÷”最初作为减号，在欧洲大陆长期流行。直到1631年英国数学家奥屈特用“：”表示除或比，另外有人用“-”(除线)表示除。后来瑞士数学家拉哈在他所著的《代数学》里，才根据群众创造，正式将“÷”作为除号。(4)十六世纪法国数学家维叶特用“=”表示两个量的差别。可是英国牛津大学数学、修辞学教授列考尔德觉得：用两条平行而又相等的直线来表示两数量相等是最合适不过的了，于是等于符号“=”就从1540年开始使用起来。1591年，法国数学家韦达大量使用这个符号，才逐渐为人们接受。

 

　　练习题

　　1.在“24”点游戏中提出了下面几组牌，你能很快求出“24”吗？

　　(1)1，3，5，7      (2)2，5，7，9

　　(3)1，3，9，10     (4)10，4，10，4

　　(5)K，Q，J，J      (6)Q，10，Q，1

　　分析：(4)10×10=100是4的25倍，100-4=96，正好是4的24倍，所以可以这样做(10×10-4)÷4=24

　　(5)K，Q，J，J即13，12，11，11，依据25-1=24可得13+12-11÷11=24

　　(6)Q，10，Q，1即12，10，12，1，依据12×2=24可得12×(12-10)×1=24

　　解：

　　(1)(5+7)×(3-1)=24  (2)5×7-9-2=24

　　(3)(1+10)×3-9=24     (4)(10×10-4)÷4=24

　　(5)13+12-11÷11=24     (6)12×(12-10)×1=24

　　2.在“24”点游戏中，抽出了下面两组牌，你能求出“24”吗？

　　(1)3，3，7，7  (2)1，5，5，5

　　分析：(1)用常用的方法无论怎么求都不能得出“24”，是否就没有办法了呢？当然不是，用乘法分配律的方法就可以求解

　　(3+3÷7)×7

　　=3×7+3÷7×7

　　=24

　　(2)用同样的方法求解

　　(5-1÷5)×5

　　=5×5-1÷5×5

　　=24

　　解：(1)(3+3÷7)×7=24

　　(2)(5-1÷5)×5=24

　　说明：熟练地掌握运算定律可以把题目化难为易，这里安排这两个题是为了开阔同学们的眼界，拓宽同学们的思路。

　　3.抽的四张牌恰好是“1～9”中从大到小连续排列的四张，这样的牌能算出“24”吗？

　　分析：符合要求的组合有六组：即9，8，7，6；8，7，6，5；6，5，4；6，5，4，3；5，4，3，2；4，3，2，1不难发现它们均可求出24点。

　　解：

　　(1)依据4×6=24得8÷(9-7)×6=24

　　(2)依据2×12=24得(7+5)×(8-6)=24

　　(3)依据2×12=24得(5+7)×(6-4)=24

　　(4)依据4×6=24得2×(3+4+5)=24

　　(5)依据4×6=24得1×2×3×4=24

　　说明：这个例子告诉我们不论从大到小，还是从小到大，连续取“1~9”中任意四个数均可凑成“24”。

　　4.添上适当的运算符号，使算式成立。

　　(1)6 6 6 6=1  (2)6 6 6 6=2

　　(3)6 6 6 6=3  (4)6 6 6 6=4

　　(5)6 6 6 6=5  (6)6 6 6 6=6

　　分析：(1)根据A÷A=1，可得许多种解，如(6+6)÷(6+6)=1或(6×6)÷(6×6)=1……

　　(2)根据1+1=2，可得6÷6+6÷6=2

　　(3)根据18÷6=3，可得(6+6+6)÷6=3

　　(4)根据6-2=4，可得6-[(6+6)÷6]=4

　　(5)根据30÷6=5，可得(6×6-6)=5

　　(6)根据0+6=6，可得6×(6-6)+6=6或(6-6)×6+6=0……

　　解：

　　(1)(6+6)÷(6+6)=1   (2)(6÷6)+(6÷6)=2

　　(3)(6+6+6)÷6=3       (4)6-[(6+6)÷6]=4

　　(5)(6×6-6)÷6=5       (6)(6-6)×6+6=0

　　5.用7个7组成4个数，并使运算结果为100

　　7，7，7，7，7，7，7=100

　　分析：首先要使一部分接近100，777÷7=111，111-100=11，后面的777凑成11就可以了77÷7=11，所以可以这样解：

　　777÷7-77÷7=100

　　6.在9个9之间填适当的运算符号，使下面算式成立。

　　9 9 9 9 9 9 9 9 9=2008

　　分析：先要想办法使一部分靠近“2000”，999+999=1998，2008-1998=10，后面的三个9凑成10即可。

　　解：999+999+9÷9+9=2008

　　说明：前六个数也可以用其他方法求得1998，如999×[(9+9)÷9]=1998这种题目往往不只一种解法。

　　7.填上适当的运算符号，使算式成立。

　　9 8 7 6 5 4 3 2 1=2007

　　分析：结果较大，先用一部分凑出与2007相接近的数，即654×3=1962而2007-1962=45，现在我们要办法使9，8，7，2，1凑成45，而45-21=24，9+8+7=24。

　　解：9+8+7+654×3+21=2007

　　8.在11～15之间，选择恰当位置，填上适合的运算符号，使算式结果为100。

　　11 12 13 14 15=100

　　分析：原题的意思是使下式成立：

　　1 1 1 2 13 14 15 =100

　　取121靠近100，11+121-31=101，415凑成“1”即可有解，(4+1)÷5=1。还可以取111靠近100，111-21=90，3 1 4 1 5 凑成10即可有解，3-1+4-1+5=10此题还有许多方法，请同学们自己试一试。

　　解：11+121-31-(4+1)÷5=100或111-21+3-1+4-1 +5=100

　　9.现有的牌为1～10，请从中选牌，每张牌只用一次，使下列“24”点游戏成立。

　　(1)□+□×6+11=24  

　　(2)(□+5)×2+□=24

　　(3)(□×10-□)÷4+11=24

　　(4)□×3-□÷2=24

　　(5)□×5-4÷4=24

　　(6)13+□×3-10=24

　　分析：观察这六个算式，我们发现(5)，(6)很好确定所选牌是5和7。再观察余下的四个算式，(4)□×3-□÷2=24，□×3>24，□可取9，10，取10时，□÷2的方块在1~10中无值可取，所以□×3只能取9，另一个□中可以取6。

　　再来观察(3)(□×10-□)÷4=24  24×4=96，所以□×10-□=96，□×10≥100，1~10中，只能取10，另一个方□中就只能取4。

　　接下来看(1)□+□×6+11=24，24-11=13，□+□×6=13，□×6<13的方格中可取1和2；取1时有7+1×6=13，7在(6)中已经用过，所以□×6的方格中只能取2，另一个□中取1。

　　最后观察(2)式，现在只剩下3、8，(□+5)×2为偶数，24为偶数，所以第二个□只能取8，第一个方面中取3。

　　解：

　　(1) ×6+11=24      (2)( +5)×2+ =24

　　(3)( ×10- )÷4=24  (4) ×3- ÷2=24

　　(5) ×5-4÷4=24         (6)13+□×3-10=24

　　10.在适当的位置中，填上括号，使下列算式成立。

　　(1)9+60÷3+2×4-1=30

　　(2)9+60÷3+2×4-1=56

　　(3)9+60÷3+2×4-1=15

　　(4)9+60÷3+2×4-1=45

　　分析：(1)题中只有÷3，-1两处可以使数值变小，特别值得注意的是“-”后面只有1，所以要想办法使算式中数靠近30，又要小于30，(9+60)÷3=23，再使后面得7即可，2×4-1正好得7。

　　(2)56是个较大的数，我们还要先靠近56，再凑小数，在中间的÷、×之间想办法，60÷(3+2)×4=48，再加8就得结果了，9-1=8。

　　(3)从前端想15-9=6，想办法使后面部分得6，60÷10=6，3+2×4-1正好得10。

　　(4)从前端想45-9=36，36=12×3=9×4，60÷(3+2)=12，4-1=3，可求解。

　　解：(1)(9+60)÷3+2×4-1=30

　　(2)9+60÷(3+2)×4-1=56

　　(3)9+60÷(3+2×4-1)=15

　　(4)9+60÷(3+2)×(4-1)=45