顾险峰: 永远的伽罗华

他使用群论的想法去讨论方程式的可解性，他系统阐释了为何五次以上方程式没有公式解，他解决了古代经典作图问题......然而他年纪轻轻就巨星陨落。让我们走近法国数学家埃瓦里斯特·伽罗华。本文由顾险峰教授授权转载，特别致谢。

法国科学院，摄于2014年6月14日，巴黎

伽罗华十五岁才开始学习数学，却在十八岁就解决了代数方程根式解的存在性的千古难题。伽罗华的数学才华足以通过皇家中学的考试要求，但他的解答往往是很富有创造性的和精妙的，以致他的考官们赏识不了。他把大量的演算放在他的头脑里进行，而不屑在纸上把论证写清楚，这使得平庸的考官们更加茫然不知所措和沮丧。所以伽罗华两次报考综合工科学院都败北，只能入学巴黎高师。伽罗华在十七岁就完成了《关于五次方程的代数解法问题》的论文，送交了法国科学院，但是被柯西遗失。后来，伽罗华又将另一篇论文送给傅里叶，当时傅里叶已经风烛残年，不久就撒手人寰。这篇论文的下落也就不了了之。后来，伽罗华又完成了《关于根式解方程的可解性条件》一文，院士泊松的审查意见却是“完全不能理解”，予以退回。这一系列的打击令伽罗华的热情转向了政治，从而支持共和主义事业的斗争。由于伽罗华思想激进，积极参加当时的革命活动，两次入狱，最终一年后被巴黎高等师范开除学籍。

巴黎高师，摄于2014年6月14日，巴黎

保皇党设计挑起伽罗华和一名军官的决斗，这名军官是当时有名的神枪手。伽罗华不幸因决斗受重伤于1832年5月31日离世，时年不满21岁。在决斗前夜，伽罗华将他关于方程论的发现草草写成几页寄给他的朋友舍瓦利耶，并留下了遗言：

“我请求我的爱国同胞们，我的朋友们，不要指责我不是为我的国家而死。

我是作为一个不名誉的风骚女人和她的两个受骗者的牺牲品而死的。我将在可耻的诽谤中结束我的生命。噢！为什么要为这么微不足道的，这么可鄙的事去死呢？我恳求苍天为我作证，只有武力和强迫才使我在我曾想方设法避开的挑衅中倒下。

我亲爱的朋友，我已经得到分析学方面的一些新发现。第一个涉及五次方程的理论，其余的则涉及整函数。

在方程的理论方面，我已经研究了用根式解方程的可解性条件，这使我有机会深化这个理论，并刻画对一个方程可能施行的所有变换，即便它不是可用根式来接的。

……

在我一生中，我常常敢于预言当时我还不十分有把握的一些命题。但是我在这里写下的这一切已经清清楚楚地在我的脑海里一年多了，我不愿意使人怀疑我宣布了自己未完全证明的定理。

请公开请求雅可比或高斯就这些定理的重要性（不是就定理的正确与否）发表他们的看法。然后，我希望有人会发现将这一堆东西整理清楚会是很有益处的一件事。

热烈地拥抱你！”

伽罗华的朋友不负重托，到了14年后的1864年，刘维尔在由他创建的《纯粹数学和应用数学杂志》上发表了伽罗华的部分文章。刘伟尔在他的介绍文章中，对于伽罗华的天才被埋没做了反思：“这些杰出的数学家（审稿人）想必认为，通过他们审慎的忠告所表现的苛刻，设法使这个充满才华但尚无经验的初出茅庐者转回到正确的轨道上来是合适的。他们苛评的这位作者是勤奋和富有进取心的，他可以从他们的忠告中获益。但是现在一切都改变了，伽罗华再也回不来了。。。我的热心得到了好报，在填补了一些细小的缺憾后，我看出了伽罗华用来证明这个美妙定理的方法是完全正确的，在那个瞬间，我体验了强烈的愉悦。”直到此时，人们终于承认了19世纪数学中由一位它的最悲惨的英雄创造的杰作。若当在1870年出版了《置换和代数方程专论》，全面而清楚地介绍了伽罗华理论。伽罗华超越时代的天才思想才逐渐被人们所理解和承认。

伽罗华画像

伽罗华的贡献并不限于给出代数方程有无根式解的一个明确判据。更为重要的是，在解这一问题的过程中，他引人了全新的思想和概念：群及群论思想。在他之前，解方程始终是代数发展的中心，伽罗华在他短暂的一生中所做的贡献，彻底地终结了解方程的理论，从而改变了代数发展的历史进程。群，环，域的理论成为抽象代数的中心。

下面我们简单地回顾一下伽罗华理论的精华。假设F是复数的一个集合，如果F包括0和1，同时对加，减，乘，除封闭，那么F就被称为是一个域。我们可以在一个域中加入不在域中的一些数，

使得F“扩张”成一个“扩域”。

那么，如果F是有理数域，扩域中的任何一个元素都是某个n元有理函数的取值

这里R表示任意一个n元有理函数。F的一个自同构是一个一一对应，保持加减乘除的四则运算，

容易验证，若σ1和σ2是自同构，则它们的复合σ1?σ2也是。由此不难看出，F的所有自同构构成一个群，其乘法运算就是复合，单位元素就是恒同同构。

考虑一个有理系数多项式

其根为

，

考虑如下的扩域

则F是包含f的所有根的最小数域，称为f的“分裂域”，f的伽罗华群是F的自同构群的一个子群，这个子群是由所有保持有理数域Q不变的所有自同构组成。 通常记伽罗华群为G = Gal(F/Q).

由伽罗华自同构的定义，我们知道自同构必须把根变到根，因为如果f(a) = 0，则f(σ(a)) = σ(f(a)) = σ(0) = 0. 即 σ(a) 也是根。 对于一般元素

这意味着多项式的伽罗华群是它的n 个根的对称群Sn 的一个子群。

对于高次多项式，分裂域及其伽罗华群是不容易确定的。伽罗华的想法是，通过逐次构造扩张域，每次只添加一个数，对分裂域进行分解。在这个过程中也对伽罗华群进行分解。而如果多项式是可以用根式解出的，这个分解就可以揭示伽罗华群必须满足的某些性质。

设F是多项式f的分裂域，称F是“根式扩张域”，如果存在一串F的子域

满足: 对i = 0, 1, 2, . . . ,m ? 1 存在αi ∈ F 和自然数ni使

由根式可解的定义不难看出，若F是根式扩张域，则f是根式可解的。进一步可证，逆命题也成立。多项式f是根式可解的当且仅当它的分裂域是根式扩张域。

在分裂域F是根式扩张域的时候，对应于一系列子域有伽罗华群Gal(F/Q) 的一串子群：

称G 是“可解群”如果对每个i = 1, 2, . . . ,n,

后面的群是前面的群的正规子群，且而且“商群”

是“循环群”。伽罗华证明了

定理: 一个多项式f 根式可解当且仅当它的伽罗华群是可解群。

对于n维对称群Sn，其最大正规子群是偶次对换群，但偶次对换群在n大于4的时候不可解。所以一般代数方程的求根公式不存在。

同样的思想也可以用来解决其它古希腊的经典问题：三等分角和化圆为方。

巴黎高师的建筑非常狭小，坐落在法兰西先贤祠附近。虽然伽罗华没能被埋葬在先贤祠，但是他永远是法兰西的民族英雄。六月巴黎灿烂的阳光洒在淡黄色的建筑表面上，天空一片湛蓝。我在巴黎高师门前久久驻足，宛若虔诚的朝圣。当初选择学术道路，就已经放弃了世俗的功名利禄。几十年一路走来，经受了太多世人的不解和嘲笑。特立独行的研究方式，溯本求源的执着和坚持，往往得到都是费力不讨好。但是，这一切和伽罗华的境遇相比，实在是微不足道。

在巴黎，当我仰望埃菲尔铁塔的时候，我被深深地震撼了。不是因为铁塔的雄伟和优雅，而是因为在这一国家级的地标上，用鎏金大字镌刻着法国历史上的伟人。不是政治家，不是帝王将相，不是商贾巨富，而是数学家。在罗浮宫，和路易十四并列的巨幅画像居然是建筑设计师。这在中国长度数千年的历史中，是不可想象的。法国科学院常年聘请各个领域的顶尖科学家授课，对所有的人无偿开放，即便是流浪汉想要教室里取暖，也不得阻拦。我深深地体会到法兰西民族精神的内涵，那就是对文化和真理的珍惜和追求。

依随时间流逝，伽罗华将永远是人类文明史上一颗璀璨的明星。