1 e是一个重要的常数,但是我一直不知道,它的真正含义是什么。 它不像π。大家都知道,π代表了圆的周长与直径之比3.14159,可是如果我问你,e代表了什么。你能回答吗? 维基百科说: 'e是自然对数的底数。' 但是,你去看'自然对数',得到的解释却是: '自然对数是以e为底的对数函数,e是一个无理数,约等于2.718281828。' 这就构成了循环定义,完全没有说e是什么。数学家选择这样一个无理数作为底数,还号称这种对数很'自然',这难道不是很奇怪的事情吗? 2 有一篇好文章,它把这个问题解释得非常清楚,而且一看就懂。 它说,什么是e?简单说,e就是增长的极限。 下面就是它的解释。 3 假定有一种单细胞生物,它每过24小时分裂一次。 那么很显然,这种生物的数量,每天都会翻一倍。今天是1个,明天就是2个,后天就是4个。我们可以写出一个增长数量的公式: 上式中的x就表示天数。这种生物在x天的总数,就是2的x次方。这个式子可以被改成下面这样: 其中,1表示原有数量,100%表示单位时间内的增长率。 4 我们继续假定:每过12个小时,也就是分裂进行到一半的时候,新产生的那半个细胞已经可以再次分裂了。 因此,一天24个小时可以分成两个阶段,每一个阶段都在前一个阶段的基础上增长50%。 当这一天结束的时候,我们一共得到了2.25个细胞。其中,1个是原有的,个是新生的,另外的0.25个是新生细胞分裂到一半的。 如果我们继续修改假设,这种细胞每过8小时就具备独立分裂的能力,也就是将1天分成3个阶段。 那么,最后我们就可以得到大约2.37个细胞。 很自然地,如果我们进一步设想,这种分裂是连续不断进行的,新生细胞每分每秒都具备继续分裂的能力,那么一天最多可以得到多少个细胞呢? 当n趋向无限时,这个式子的极值等于2.718281828...。 因此,当增长率为100%保持不变时,我们在单位时间内最多只能得到2.71828个细胞。数学家把这个数就称为e,它的含义是单位时间内,持续的翻倍增长所能达到的极限值。 这个值是自然增长的极限,因此以e为底的对数,就叫做自然对数。 5 有了这个值以后,计算银行的复利就非常容易。 假定有一家银行,每年的复利是100%,请问存入100元,一年后可以拿多少钱? 回答就是271.828元,等于100个e。 但是,实际生活中,银行的利息没有这么高,如果利息率只有5%,那么100元存一年可以拿到多少钱呢? 为了便于思考,我们取n等于50: 我们知道,在100%利息率的情况下,n=1000所得到的值非常接近e: 因此,5%利息率就相当于e的20分之一次方: 20分之一正好等于5%的利率率,所以我们可以把公式改写成: 上式的rate就代表增长率。这说明e可以用于任何增长率的计算,前提是它必须是持续不断的复合式增长。 6 再考虑时间因素,如果把钱在银行里存2年,可以得到多少钱? 在时间t的情况下,通用公式就是: 上式就是计算增长量的万能公式,可以适用于任何时间、任何增长率。 7 回到上面的例子,如果银行的利息率是5%的复利,请问100元存款翻倍需要多少时间? 计算结果是13.86年: 上式最后一个等号,表明用72除以增长率,可以得到翻倍的大致时间,这就是72法则的来源。 【科普】e是石头里蹦出来的吗? e是自然对数函数的底数。有时称它为欧拉数(Euler number),以瑞士数学家欧拉命名;也有个较鲜见的名字纳皮尔常数,以纪念苏格兰数学家约翰·纳皮尔引进对数。它就像圆周率π和虚数单位i,e是数学中最重要的常数之一。 它的数值约是:e ≈ 2.71828 第一次提到常数e,是约翰·纳皮尔于1618年出版的对数著作附录中的一张表。但它没有记录这常数,只有由它为底计算出的一张自然对数列表,通常认为是由威廉·奥特雷德(William Oughtred)制作。第一次把e看为常数的是雅各·伯努利(Jacob Bernoulli)。知的第一次用到常数e,是莱布尼茨于1690年和1691年给惠更斯的通信,以b表示。1727年欧拉开始用e来表示这常数;而e第一次在出版物用到,是1736年欧拉的《力学》(Mechanica)。虽然以后也有研究者用字母c表示,但e较常用,终于成为标准。 用e表示的确实原因不明,但可能因为e是“指数”(exponential)一字的首字母。另一看法则称a,b,c和d有其他经常用途,而e是第一个可用字母。不过,欧拉选这个字母的原因,不太可能是因为这是他自己名字Euler的首字母,因为他是个很谦虚的人,总是恰当地肯定他人的工作。 当x趋于正无穷大或负无穷大时,“1加x分之一的x次方”这个函数表达式(1+1/x)^x的极限就等于e,用公式表示,即: lim(1+1/x)^x=e (x趋于±∞) 实际上e就是欧拉通过这个极限而发现的,它是个无限不循环小数,其值等于2.71828……。以e为底的对数叫做自然对数,用符号“ln”表示。 至于欧拉选择e的理由,较为多数人所接受的说法有二:一为在a,b,c,d等四个常被使用的字母后面,第一个尚未被经常使用的字母就是e,所以,他很自然地选了这个符号,代表自然对数的底数;另一说法为e是“指数”一词英文的第一个字母,虽然你或许会怀疑瑞士人欧拉的母语不是英文,可事实上法文、德文的“指数”都是它。究竟e的来历是什么?至今仍然是个谜。 特别推荐 |
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