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解题的过程 数学的解题，是很多人头疼的事情；解不出来，是很多人不喜欢数学或学不好数学的主要原因。在教学中，我常常观察同学的解题，也会思考这么一个问题：一个题目我会解而同学不会解，差别在哪里呢？或者在自己遇见难题的时候想：别人会而我不会，差别又在哪里呢？ 我们先简单的把题目分成两种——会做的和不会做的——这似乎是一句废话。换一个看起来正常一点的说法：在你当前数学能力范围以内的题目，和能力范围以外的题目。在中学阶段（其实可以涵盖从小学到大部分大学阶段），数学解题的意义就在于训练我们逐渐扩大这个范围，从而会解决越来越难的题目。最终会有（极少数的）人，具备了这样一种能力：他的能力范围涵盖了一些历史上从来没有人解出来过的题目，我们称之为“数学家”，他们推动着全体人类对数学的认识、拓展着我们的视野，也同时使我们不得不学更多的数学知识和做更多的数学题目。 想要扩大范围的边界，就需要我们解决那些乍一看不太好处理、需要努努力才有办法处理的题目。那么，在这个过程中，我们应该怎样思考呢？ 首先要尝试的一定是常规性的解题手段。常规性的解题手段来自于我们自己做题中的总结。总结什么呢？这是很多同学的问题。刷题的意义并不是让我们背下来做过的每一道题，这也是不可能的，并且是没有意义的。有意义的是记住做过的那些题目中反复出现的相同结构的条件，以及这些条件出现后典型的处理手段。这就好像初学下棋一定要学很多“定式”、学功夫也一定要学“套路”一样。很多人觉得“定式”、“套路”是一种死板的东西，不应该出现在数学里，其实不然。学“定式”记“套路”都是为了从中体会“招式”的意义，尝试去理解为什么把这些条件这么处理更好？这样的处理方法使得条件中的什么性质得以应用？经过自己思考和消化的“定式”，才能在自己内心生根发芽，也才能在解题中被灵活运用。 而难题往往难在用定式不好解决，因此需要我们采用一些创造性的解题手段。既然是“创造性的解题手段”，是不是“定式”就完全没有用了呢？不是的，“创造”不是没有根基的天马行空，而是基于现有的知识、将解决问题方法的进行迁移。很多同学都知道爱迪生发明白炽灯的时候做了上千次实验，但这不是只凭毅力和运气，他在电气和材料方面的科学知识是发明白炽灯的必要条件，他想延长灯泡的使用寿命，采用了多种已知的方法进行组合，这都是基于“定式”的创造。所以，解决问题的创造性手段是源于对“定式”的深入理解。而一旦问题被解决，解决问题的方法就有可能成为一种新的“定式”。所以，虽然“定式”并不能解决所有的问题，但是问题的解决依然需要以“定式”为基础。很难想象如果高斯连最基本的加法运算都不过关，如何发现“倒序求和”的奥秘；也很难想象获得花式扣球大赛冠军的篮球运动员不会运球。理解原理，才能对“定式”加以创造、迁移它的使用环境，从而解决新的问题。所以在做基础题目总结常规思路的同时，一定要分析解法的道理，然后再看这样的道理能不能适用于更多的问题之中。比如大多数同学都学过二次方程的韦达定理，那么三次方程有没有韦达定理呢，也许我们以前没有掌握过，那么这时候就可以想想证明二次方程韦达定理的方法原理是什么，运用这个原理是不是可以解决按三次方程问题？ 常规问题形成定式的意义是巩固自己，创造性问题的解决则可以突破自己。善于解题的人，会不厌于对自身的修炼，并不断从中汲取经验，同时乐于迎接挑战、运用自己的经验、拓展自己的能力。是解题，推动着数学。 |
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