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本帖最后由 沙梨熊 于 2016-4-5 14:34 编辑 二、伊斯兰阿拉伯世界 苏美尔人在很早之前就采用了便于天文计算的六十进制数字，公元前四世纪波斯人又为它添上了零，到了公元九世纪左右，阿拉伯伊斯兰世界的科学家更是将它发展出一套完善的位值系统，足以处理所有整数及小数的四则运算和三角函数运算。对于六十进制的乘法，他们有两种运算方式。一种是先将六十进制数转换成十进制数相乘，再换算回六十进制数；另一个方法则是本文所要详细介绍的铺地锦算法。提到铺地锦，我们就不得不提到穆斯林数学家阿尔·卡西(Jamshīd al-Kāshī，？-1429)。 阿尔·卡西生于波斯的卡珊( Kāshān，今伊朗的德黑兰南方200 公里 )，出生年代不详。关于他最早的活动记录始于1406年。当时他在卡珊观测月蚀。早年的阿尔·卡西生活并不富裕，到处流浪谋生。后来，阿尔·卡西来到撒马尔罕 (Samarkand )，在当时的素丹Ulūgh Beg创办的一所学校中谋得一份职位，开始了他一生中天文及数学研究的颠峰时刻。1424年，他在《圆周论》中把圆周率的近似值π精确到了小数点后的第16位，打破了祖冲之保持了900年的记录。1427年，他开始撰写《算数者之钥》(???????????)，书中对算术、代数及测量等方面做了详细论述。在1429年，他去世前不久，他还利用求解三次方程式得到正弦函数sin1°的近似值。我们现在来从《算数者之钥》一书中的例题来看看铺地锦的具体算法： 24 (????); 15 (?????), 40 (?????), 38 (?????) 乘以13 (????),9 (????), 51 (????); 20 (?????) 首先，我们先要解释一下题目中????、?????……等单位的含义。如同十进制数以10的乘幂为基础，六十进制数是以60的乘幂为基础。但如果任何一个数值没有小数点或单位的话，那么我们就无法确定各个位值是60的几次乘羃。例如：02,45究竟是165 (＝2×60＋45)或？为了解决这个问题，阿拉伯人给每个位值起了个名称，也就是位值为1（600）、601、602……分别称做????、????、????……；60-1、60-2、60-3……则称为?????、?????、?????…… 例如阿尔·卡西的圆周率计算结果可以表示成：2π=6；16，59，28，1，34，51，46，14，50 题目中的两个数值的含义分别为： 24 (????), 15 (?????), 40 (?????), 38 (?????)= 24×1+15×（1/60）+40×（1/602）+38×（1/603） 13 (????), 9 (????), 51 (????), 20 (?????)= 13×602+9×60+51×1+20×（1/60）。 下面我们来看一下具体运算过程。先将被乘数由右顶点向正上方顶点如图二依次填入，乘数由正顶点向左下方依次填入。运算时由最小位置开始，首先38乘以20得760，转换成60进制数得12,40，将12、40分别填入右侧第一个方格右边的三角、左边的三角，同理继续乘下的数值运算，直到所有空格都填满，再把落在同一纵行上的数值加起来，若数值大于60，则进位。例如：落在左边第三纵行上的42、32、0、13、0，其和为87，转成60进位制得1,27，数值1则进位。因为?????乘上????为?????，所以答案的最后一个位值的单位是?????。值得一提的是，阿拉伯人可以直接查表 (六十进制的乘法表) 来填满空格，只有在计算每一斜线上数值的总和以及进位时，才真正需要做计算。 
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