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最近的一期 what-if 引起了颇多争论 【译言】【煎蛋】，这的确是一个非常考验物理功底的问题，以下是我的个人理解，当然我也只是一枚学生，如果有不对的地方请大牛指正。 和这个问题相关的的原理有两个，一个是几何光学中的像的亮度 <= 物的亮度（玻恩《光学原理》），另一个是黑体的平均温度 <= 光源的平均温度（朗道《统计物理 I 》）。下面我分成光学和热学两部分来写，光学部分用亮度来讨论，热学部分用黑体来讨论。 【光学类】 ## 用凸透镜能否将像成到无穷小的一个点上？ 凸透镜所成的像的形状和光源一样，如果光源不是一个理想几何点的话，像就永远是一块光斑而不是一个点。即使光源是一个点，考虑衍射的话，所成的像是个艾里斑，斑的半径反比于透镜的直径。所以需要点光源+透镜无穷大，像才是一个点。 ## 凸透镜可以改变像的大小，这个缩放率能否做到无穷小？ 几 何光学中有个定理（我所学的是拉格朗日不变量，原作称之为聚光度守恒定理），在共轴球面镜成像过程中，nyθ 是不变量，n 是所处介质折射率，y 你可以理解为像的尺寸，θ 是外缘光线和光轴的角度。因此为了让 y 变小，θ 就会变大，透镜就要越凸，越凸的透镜，做出来的面积就越小，收集到的光能就变少。所以缩放率可以无限做小，但像的亮度不会无限提高。 ## 凸透镜面积小了？那就用 N 个小凸透镜，然后把已缩的很小的光斑引到一块去？ 引不了。凸透镜是把像成在焦平面，如果你不在焦平面接住这个像，过了焦平面后像就会又发散开来了。如果你用光纤（或类似的管形镜面），光纤必须打弯，导致一部分光线往回走。 ## 用其它类型的透镜？ 有人提到菲涅尔透镜，它和凸透镜是一个道理，其面积仍然要受曲率的限制。无论你用什么样的透镜，总是有聚光度守恒定理。 ## 像阿基米德那样，在太空中布满小平面镜聚到一点，能否提高像的亮度？ 在距离月球 r 的球面上，能摆下的镜子的总面积正比于 r2 ，而光能在 r 这个距离上的衰减也是 r2 ，又由于平面镜成的是等大的像，在最理想的情况下，你得到的亮度和光源表面的亮度相同。 ## 从 nyθ 公式来看，提高折射率 n 是不是也可以？ 这一招的确能提高亮度，油镜显微镜就是这么干的。不过你需要将整个像空间都泡在高折射率的介质里，另外亮度仍然是有上限的，像空间亮度 <= 物空间的亮度*(像空间折射率/物空间折射率)^2 ，仅当光学系统内没有吸收或散射时取等号。 【热学类】 ## 用一束光一直照射一个散热率很低的物体，能否让物体的温度无限升高？ 不能，物体会至少以黑体辐射的形式损失能量，损失的功率为 σT^4 ，故温度最高能达到 σT^4=输入功率。如果光源也是一个黑体，且它的能量全部输出给物体，因公式形式相同故它们最终会达到相同的平均温度。 ## 光源不是太阳吗？月球只是反射太阳光而已，温度上限应该是太阳表面的温度啊？ 注意“且它的能量全部输出给物体”，月球只接受到了太阳少得可怜的一点立体角的能量。只有当你把太阳和月球包在一个巨大的椭球面镜之内，月光才会和太阳光一样亮。故原文是把月球视作一个单独的主动热辐射光源来讨论的。 ## 把月球换成（反射率不是很高的）镜面，能不能点火？ 当然能，但月面不能用镜面来近似。因为镜面反射的光是高度定向的，用前面光学中的概念就是提高了聚光度。但真实的月面是漫反射，聚光度低了很多。这是质的区别，所以多低的反射率的镜面也不可以近似月面。 有人提出月光反射了显著的可见光，而 100℃ 的黑体辐射主要为红外光，可见光的比例很少，因此月球不可能被视为 100℃ 的黑体。我没有查到月光的光谱，维基百科告诉我月光的光谱温度约 4100K ，因此我同意这一观点。 有一个更直接的估计方法：地球和月球到太阳的距离差不多，所以把月球漫散射的光线整理好，和地球被阳光直射的效果是差不多的，所以聚焦月光应当只能加热到室温附近。当然月球也是受阳光直射，所以用月面温度来作估计也是一样的，xkcd 的作者想说的就是这个意思。所以月光的光谱温度是多少并不重要，限制光能进一步聚焦的是聚光度。透镜对光线的作用是让光源以更大立体角包住物体，如果是直接接收太阳光，透镜就可以让半个球面的立体角都充满太阳，因此能将物体加热到太阳表面的温度。如果让月面包住你，你所能达到的就是月面热平衡的温度（不是光谱温度） 【所以就没办法了吗？】 当然有办法，不然我们要怎么给核聚变点火。虽然平均温度不能超过光源的温度，但点火只要求瞬间温度足够高即可。我 们可以让能量积攒一段时间然后一下子输出。注意我说的不是把黑纸片放到保温瓶中之类想当然的手段，因为保温瓶不会做功（术语称为被动装置），仍然是至少以 黑体辐射的形式损失能量，只不过室温下主要是以红外线的形式辐射，所以你注意不到。我说的是要使用能主动做功的装置，例如攒上几个月的月光光能给电池充电，然后瞬间短路点燃纸片。这一过程用到了主动装置，超额输出也不可能持续进行，所以不违反热二律。原题目问的是只用放大镜，如果只考虑点燃日常的引火物 的话（白磷大家都知道嘛），原文给出结论“不能”是没有问题的。
很多人说要做定量计算，那就算一下也无妨。月光的光谱是啥样并不重要（除了设置一个热二律上限之外），加热能力只和流强有关。月球的视立体角为 π*1737^2/380000^2，透镜最多能将这个立体角扩大到 2π，则流强能增大约 9.5 万倍，而日光的流强约为月光的 40 万倍。所以你聚出来的月光连日光直射都达不到，更不必说点火需要比日光直射更高的流强。 这里有一个老师写过的计算，我就不给大家翻译了。 Let's imagine that the moon's surface was hot enough to glow with the same energy intensity as we actually see in its reflected sunlight. (The spectrum would be different, but that's not very relevant for the heating power. The important point is that the thermal radiation also heads off in all directions.) No passive device (such as a lens) could cause this thermal system to spontaneously heat up another system to a temperature higher than the surface temperature. How hot would that surface temperature be? Since the moon is at about the same distance from the sun as us, and we are at the right temperature to emit about as much radiation as hits us from the sun, that means that the focused moonlight would only heat things up a little above ordinary room temperature. (I've used the law that the absolute temperature only goes as the 1/4 power of the thermal radiation flux to get that even adding the focused moonlight to our ordinary radiant energy wouldn't get things very hot.) 这篇帖子也回答了毛玻璃等形形色色的问题，有问题的童鞋自己去看。 凡是 what-if 原文、本帖、上帖已经解释过的问题，物理概念不清，想当然地存在什么东西等，我不再回复。
看到那个所谓“悖论”居然还被顶到热评了，我对那个的回复在 25 楼。可能是我在讨论区写的东西有些没表述清楚，我下面重新整理一个严谨的表述出来，我相信大家对下面的表述都不会有异议： 模型涉及三个物体：原光源，间接光源，物体 对于没有反射的间接光源（例如黑体），物体所能达到的温度上限是间接光源表面的温度。 对于完全反射的间接光源（例如镜子），物体所能达到的温度上限是原光源表面的温度。 对于介于黑体和镜面之间的间接光源，物体能达到的温度应用流强来定量计算。 xkcd 的作者没有做定量计算，但我不觉得这是他理解有误，因为月面都是坑坑洼洼的石头，凭经验可知月球更像黑体而不像水银球。 |
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