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在统计里，两个随机变量X，Y的相关函数定义如下：  也就是两个随机变量协方差除以标准差之积。 如果X是一个时间的随机变量序列，将不同时间起始点的两个序列Xt和Xs看成两个随机变量，上面的相关函数则可表示为：   就这么个玩意，表达了个什么意思呢？ 让我们把期望展开来看，也就是当随机变量序列有样本点时：  而向量内积计算结果，是两个向量间夹角的余弦值。当两个向量相同时，夹角为0，而余弦值，即自相关函数取值为1。 所以，自相关函数在统计上，反映了同一序列在不同时刻的取值之间的相关程度。 而在信号处理中，一个信号的自相关函数以卷积的形式表达：  可以看出同统计中的形式相似，所以，信号处理中的自相关函数，同样也反映同一个信号在不同时刻取值间的相关程度。若信号呈周期性，则当τ取相应的周期值时，自相关函数可取得最大值。所以，可以通过自相关函数来分析函数周期性。 在图像处理里，常应用到的是标准化互相关函数（Normalized Cross-Correlation，NCC）。比如，NCC在图像模板匹配时可用于度量匹配距离。NCC表达形式，或本质和统计里的相关函数一致。 
相关函数，就说到这里，现在开始由相关函数引到功率谱上。 功率谱或有时叫能量谱（power spectrum），或又叫功率密度谱（power density spectrum），或叫谱密度（spectral density或power spectral density），虽然 名字很多，但总还是靠谱。 
如何计算信号的功率谱呢？维纳-辛钦定理（Wiener-Khinchine Theorem）给出了一种计算方法: 首先用文字表述，一个信号的功率谱密度就是该信号自相关函数的傅里叶变换。 至于维纳辛钦定理是怎么来的。知道当然 是好的，但是不知道也不要紧。重要的是理解功率谱的意义，并且会使用维纳辛钦定理计算功率谱。 那么功率谱有什么用呢？ 每个信号f(t)只有唯一的功率谱，虽然反过来未必成立。但功率谱是信号的一种属性。有这种属性，再加上别的一些属性，就可以用于区分信号了。比如在图像处理里，将图像函数看做一个信号函数，对图像某一区块其进行上述标准化互相关函数中讲到的亮度和对比度不变性处理后，进行傅里叶变换，并最后算出图像功率谱，于是就有了一个很好的以频率表达的可用于模板匹配的模板属性。这就是图像处理中所说的，把对图像处理的时空域内思考，转化到频域。可以使一些在时空域较难处理的问题，在频域里找到直观简便的解决方案。 有了功率谱的概念，就可以谈谈白噪音（White noise）了。 白噪声或白噪声，是一种功率谱密度为常数的随机信号或随机过程。功率谱密度为常数，也就是说，信号在各个频率上的能量相同。由于白光是不同频率的各色光混杂而成，所以同样在不同频率下具有想等能量的噪音被称为“白”的。但是功率谱密度为常数又说明了什么呢？如上所述，功率谱可由自相关函数的傅里叶变换得到。继续如上所述，自相关函数可以反映一个函数的周期性。那么自相关函数经傅里叶变换后的功率谱也一样。而且，周期和频率原本就是一回事。如果某函数的频率谱在某个频率下取得很大的值，那么说明此函数具有一定的周期性。而对于白噪声而言，频率谱在所有频率下取值相同，就是说能量和频率没有关系，也就是说，能量和周期没有关系。所以白噪声不具有周期性。既然自相关函数已经可以表达这个意思了，为什么还要再傅里叶变换一下，来表达同一个意思。这不是脱了。。。（这里省略四个字）。。。，多加一道手续吗？事实上，从上面维纳-辛钦定理可以看出，信号的频率谱可以直接由信号的傅里叶变换得到，而快速傅里叶变换（FFT）能提供一个高效的计算手段。这往往比计算自相关函数要更高效和直接。 好，继续说白噪声。如果白噪声描述的是时间信号，那不具有周期性就是说，信号强度和时间不相关。回忆卡尔曼滤波（Kalman Filter）的三个应用假设： 1.系统是线性的。 2.系统状态噪音是白噪音 3.系统状态噪音是高斯形式。
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