【习题研讨】数学物理不分家之轨迹何处寻

看看如何用数学知识来解决一道初中物理竞赛问题，以及小编看到的神奇的解题思路！

稍微了解科学史的人都知道，数学和物理两门学科是无比紧密联系在一起的！例如，古代大牛里，既是数学家又是物理学家的比比皆是，最著名的莫过 牛逼顿，他揭开了天体运动的原理，还能跟莱布尼兹一争微积分的发明权！

还有初中竞赛数学里整天要打照面的法国律师 费马 老先生，不仅作为数学家给世人留下了著名的费马大小定理，还作为物理学家（光学家）给出了费马最小光程原理。

图：费马大定理及证明者

物理作为独立学科开始发展之后，两个学科仍然互相影响，并且深刻联系。有些时候，数学发展的比较快，有很好的数学工具，可以引导物理学家找到对应的物理状态和原理，例如罗巴切夫斯基的非欧几何为爱因斯坦相对论的应用扫清了数学上的障碍（时空非欧式几何，而是弯曲的）。

有时候数学发展相对比较慢，没有好的数学工具，没法很好解释和预测一些物理现象。例如，千禧年七大难题之一 —— NS方程解的存在性与光滑性（以下来自百度，好像这个问题有点进展了）：

起伏的波浪跟随着我们的正在湖中蜿蜒穿梭的小船，湍急的气流跟随着我们的现代喷气式飞机的飞行。数学家和物理学家深信，无论是微风还是湍流，都可以通过理解 纳维叶－斯托克斯方程 的解，来对它们进行解释和预言。虽然这些方程是19世纪写下的，我们对它们的理解仍然极少。挑战在于对数学理论作出实质性的进展，使我们能解开隐藏在纳维叶－斯托克斯方程中的奥秘。

图片：纳维-斯托克斯方程

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正   文  开  始

好吧，小编扯远了，这两天小编向大家介绍两道初中物理竞赛里的题目，说说里面的要用到的数学知识，都不是很难，但都还蛮有趣味。今天先讲 第一道！

小编最早接触到下面这题是因为两年前的一个读业物的交中学生。做老师的都知道，有些孩子总是 “ 不怀好意 ” 地来问你问题，很显然，不是每个人的急才都很好，所以结果往往是你答不上来，然后你用各种理由搪塞过去，以掩饰自己的无知 ：）

事实证明小编急才也不好，当时并没有做出来。后来请教物理老师才知道是大同杯物理竞赛的决赛试题，看完答案后恍然大悟，原来如此简洁，有通透之感，自觉提升不少！

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例 1：将一块两条直角边分别为 a，b 的直角三角板 ABC 如图放置在光滑墙面上，现在让斜边 AB 从水平方向开始 （即开始在 x 轴上），两端点紧贴墙面滑动 （即 A 始终在 y 轴正半轴，B 始终在 x 轴正半轴运动），一直到斜边 AB 运动到为竖直方向为止。试问：

（1）滑动过程中，点 C 的轨迹；

（2）OC的最大值；

（3）整个运动过程中，点 C 的路程。

每个小问小编都给出两种解答，其中第（2）小问的 第二种解法 惊为天人！是小编从兰琦老师的微信号中看到的，只能拜服在地！首先看 动态图 吧！

（1）答案：C的轨迹是一条线段。

解法一：相似。下图两个绿色三角形相似，且相似比为 a 比 b，故 CN:CM = a:b，横纵坐标之比为定值，说明 C 点在一直线上。再考虑运动前后，可得其轨迹是一条线段；

解法二：四点共圆。AOBC 四点共圆，∠COB = ∠CAB 为定值，且正切为 a 比 b，也说明了问题。

（2）解答：

解一：三角不等式。

因为 CM、OM 皆为定长线段（斜边的一半），所以显然当 O、M、C 三点共线时，线段 OC 的长度最大，正好为斜边的长度。

解二：相对运动。