第六篇 平稳随机过程（Stationary Stochastic Processes）

第六篇 平稳随机过程（Stationary Stochastic Processes）

2013-08-13 05:35 阅读(3102)评论(0)

 李英冰  2013年8月12日

1. 定义

        平稳性（Stationary）是在进行统计推断时最重要的假设，基本思想是，决定过程特性的统计规律不随时间的变化而变化[1]。平稳过程分为严平稳过程（Strictly Stationary）和弱平稳过程（weakly Stationary）。

        严平稳过程也称为狭义平稳过程，是在固定时间和位置的概率分布与所有时间和位置的概率分布相同的随机过程，随机过程的统计特性不随时间的推移而变化。任意时间点 的观测值 的联合概率分布相同[2]。因此，对于一个严平稳的离散过程来说，如果把所有的观测时刻向前或者向后推移任意整数k，相应观测值的联合分布是不会受到影响的。

        宽平稳过程：数学期望和方差不随时间和位置变化的随机过程，即弱平稳过程的条件是：（1）均值函数在所有时间上恒为常数；（2）对于所有时间t和和时滞k，自协方差相同。

        严平稳与宽平稳随机过程的相互关系：（1）严平稳过程不一定是宽平稳过程，因为严平稳过程不一定存在二阶距[3]；（1）宽平稳过程不一定是严平稳过程，因为宽平稳过程只能保证一阶矩和二阶距不随时间的推移而变化，但是不能保证其有穷维分布不随时间推移而改变[3]。（3）存在二阶矩的严平稳过程必定是宽平稳过程[4]。反之不一定成立。（4）宽平稳的正态过程必定是严平稳的。因为正态过程的概率密度是由均值函数和自相关函数完全确定的，因而如果均值函数和自相关函数不随时间的推移而变化，则概率密度函数也不随时间的推移发生变化。

2. 平稳随机过程的均值和方差

                平稳性假设意味着对于任意时刻t的概率密度分布p（zt）都是相同的，简记为p(z)。所以，平稳过程具有常数均值

                                                       （1）

随机过程围绕均值上下波动。方差用于描述序列值在平均值附近的离散程度，平稳过程具有常数方差

                                （2）

对于已观测时间序列 ，随机过程的均值可以用该时间序列的样本均值进行估计，计算公式为

                                                                  （3）

随机过程的方差也可用时间序列的样本方差进行估计，计算公式为

                                             
             （4）

3. 平稳随机过程的自协方差和自相关系数

在平稳性假设条件下，对于具有常数时间间隔的所有时刻t1和t2的联合概率密度分布是相同的。若相应时间间隔为k，则zt和zt+k的协方差对于任意时刻t都是相同的，称之为延迟k的自协方差，其定义为

                       （5）

延迟k的自相关系数为

                 （6）

例1  图1是 的模拟图形。图2是该序列数据时延1期，2期和3期的散点图。图3是自相关函数图形。 

 

参考文献

[1] J. D. Cryer and K. S. Chan, Time Series Analysis with With Applications in R(Second Edition): Springer, 2008.

[2] G. E. P. Box, G. M. Jenkins, and G. C. Reinsel, Time Series Analysis: Forecasting and Control: Wiley, 2013.

[3] 王丙参, 魏艳华, and 宋立新, "严平稳与宽平稳过程的关系," 宁夏师范学院学报（自然科学版）, vol. 30, pp. 13-15, 2009.

[4] P. J. Brockwell and R. A. Davis, Time Series: Theory and Methods: Springer, 2009.

[5] R. H. Shumway  and D. S. Stoffer, Time Series Analysis and Its Applications With R Examples, Third ed.: Springer, 2011.