基于谱随机有限元法的大跨桁架结构风致响应分析

基于谱随机有限元法的大跨桁架结构风致响应分析

王 宁，吕令毅

（东南大学土木工程学院，江苏南京 210096）

摘 要：在同时考虑结构材料参数和风荷载具有随机性的情况下，通过Karhunen-Loève级数展开法，分别对结构参数随机场和风荷载随机过程进行离散；利用混沌多项式对结构随机响应量进行展开；在此基础上，建立了桁架结构动力问题的谱随机有限元方程。针对一大跨平面桁架结构，利用谱随机有限元法（SSFEM），计算了该结构在风荷载作用下动力位移响应的统计参数，并与蒙特卡罗（MC）法模拟的结果进行了对比，验证了该方法的可行性，并研究了该方法的计算效率。

关键词：桁架结构；谱随机有限元法；Karhunen-Loève级数展开；混沌多项式；风荷载；响应展开系数

0 引 言

在结构风振问题分析中，一般都假设结构的材料参数（弹性模量、密度等）为确定性的，只考虑了风荷载的随机性。但是，由于制造环境、技术条件等的影响，结构的材料参数本质上是存在一定变异性的，考虑材料参数的随机性，是更加符合实际情况的。

上世纪90年代初，Spanos［1］与Ghanem［2］将随机场的Karhunen-Loève级数展开和随机变量的混沌多项式展开引入有限元法中，形成了谱随机有限元法（Spectral Stochastic Finite Element Method，SSFEM）。这一方法收敛性好，和传统的蒙特卡罗随机有限元法相比，计算效率较高。近年来，SSFEM在结构动力随机分析领域有较多的应用，比如随机地震作用下，具有随机材料参数核反应堆设施结构的动力随机响应问题［3］；随机车轮荷载作用下，具有随机材料参数简支梁桥结构的动力随机响应问题［4］以及移动龙卷风作用下，具有随机材料参数核电常规岛结构的动力随机响应及可靠度问题［5］等。

本文以一平面桁架结构为计算模型，同时考虑风荷载和结构材料参数的随机性，采用SSFEM对结构进行了动力随机响应的统计分析，并将计算的结果与蒙特卡罗法模拟的结果进行对比，研究了SSFEM的计算精度和效率。

1 动力问题的谱随机有限元法

1.1 随机场的Karhunen-Loève级数展开

假设一均值为μ、协方差函数为C（x1，x2）的平稳高斯随机场H（x，θ），利用Karhunen-Loève（K-L）级数展开，可将H（x，θ）离散成

如下形式［2］：

式中，λk和fk（x）分别是随机场协方差函数C（x1，x2）的特征值和特征函数；ξk（θ），（k= 1，2，…，M）为互不相关的标准高斯分布随机变量；θ为随机性指标；x为随机场的位置坐标；M为展开项数。

针对特殊类型的随机场或随机过程协方差函数（如指数型），文献［2］推导了特征值和特征函数的解析解；当协方差函数为其他类型时，一般无法得到解析解，需采用数值方法求解。

对于平稳高斯随机过程，只需将H（·）中的自变量x换成表示时间的t，便可以用相同的方法进行离散。

1.2 随机变量的混沌多项式展开

对于任一随机变量U（θ），可以利用混沌多项式［2］将其展开成如下形式：

式中，ai1i2…in为展开系数；｛ξik（θ）｝，（k=1，2，…）为互不相关的标准高斯分布随机变量；Γp（·）表示以｛ξik（θ）｝为自变量的p阶混沌多项式。

实际使用时，将式（2）展开至第P项，并简写成如下形式：

，ψl（θ）与ai1i2…in，Γp（·）具有一一对应的关系，ψl（θ）具有如下正交性质：

内积符号〈·〉表示取数学期望；δlm为Kronecker δ函数，当l=m时，δlm=1；当l≠m时，δlm=0。展开项数P用如下公式计算：

式中，n为混沌多项式ψl（θ）中所用随机变量｛ξik（θ）｝的个数。

1.3 谱随机有限元方程的建立及求解

具有随机材料参数结构在随机动力荷载作用下的有限元方程如下式［6］：

式中，M为结构整体质量矩阵；C为结构整体阻尼矩阵；K为结构整体刚度矩阵，（t，θ），（t，θ）和U（t，θ）分别为结构的节点加速度响应、速度响应和位移响应向量；F（t，θ）为节点荷载向量。

假设结构构件材料的密度为平稳高斯随机场ρ（x，θ），均值为μρ，利用K-L级数展开将ρ（x，θ）离散成如下形式：

式中，kρ为密度随机场的K-L级数展开项数。
则单元质量矩阵可表示为［6］：

式中，Ne为单元形函数矩阵；ξ0=1。通过坐标转换与单元集成，可以得到整体质量矩阵的表达式［6］：

式中，Te为单元坐标转换矩阵，Mi1为质量矩阵的K-L展开系数矩阵。同样地，通过上述方法，可以得到整体刚度矩阵的表达式：

式中，kE为弹性模量随机场的K-L级数展开项数；Ki2为刚度矩阵的K-L展开系数矩阵。

采用瑞雷阻尼假设，则结构的阻尼矩阵可表示成如下形式［6］：

式中，α、β均为比例常数；kC为阻尼矩阵的K -L级数展开项数。Ci3为阻尼矩阵的K-L展开系数矩阵。考虑结构材料的密度和弹性模量具有相同的随机性，则kC=kE=kρ。

假设作用在结构上的荷载时程向量为平稳高斯随机过程，利用K-L展开可将荷载时程向量离散成如下形式：

式中，kF为荷载随机过程的K-L级数展开项数。

利用混沌多项式，可将结构的位移响应向量展开成如下形式：

式中，KU为位移响应的混沌多项式展开项数；dt（t）为展开系数向量；N为结构的自由度总数。由于位移响应由结构自身特性和外荷载共

同决定，故，其中pU为展开位移响应所用的混沌多项式阶数。

同样地，结构的速度响应向量和加速度响应向量可表示成如下形式：

将展开后的M、C、K、（t，θ）、（t，θ）、U（t，θ）和F（t，θ）代入有限元方程（6），得：

将上式两端分别乘以混沌多项式ψm（θ），m=0，1，…，KU，并取期望，得：

则可将式（16）的方程写成矩阵的形式：

式（18）便是动力问题谱随机有限元方程的一般格式。内积系数〈ξj（θ）ψl（θ）ψm（θ）〉可通过解析计算求得［7］。采用Newmark-β法对方程进行求解，求得展开系数向量dl（t）后，便可计算结构响应的均值和协方差矩阵：

位移在t时刻的方差即为位移协方差矩阵的主对角元素，将方差开根号，便得到标准差。根据式（13）、式（14），还可以用蒙特卡罗（MC）法对混沌多项式ψl（θ）进行抽样，得到一系列响应的样本，从而计算结构响应的概率密度函数和概率分布函数。

2 大跨桁架结构风致响应分析

2.1 结构计算模型及SSFEM计算参数

以受风荷载作用的一榀平面桁架结构为例，结构计算模型如图1所示。

图1 平面桁架结构计算模型

支座约束形式为两端简支，屋面坡度为5%，所用杆件均为圆管钢，采用Q345钢材，杆件截面尺寸：上、下弦杆299 mm×14 mm，直腹杆146 mm×8 mm，斜腹杆168 mm× 10 mm。作用在桁架节点上的风荷载通过下式计算：

式中，μs为风荷载体型系数，节点14～19取0.6，节点20取0.55，节点21～26取0.5；μz为风压高度系数，此处均取0.71；Ai为节点负荷面积，节点14和节点26取20.25 m2，节点15～25取40.5 m2；w（t）为一均值为μw。

功率谱密度函数为Sw（n）的平稳高斯随机过程，Sw（n）采用Davenport风压谱模型［8］：

式中，K为与地面粗糙度有关的系数，此处取K=0.005；，n为工程频率，为10 m高度平均风速；为10 m高度平均风压。

采用谐波叠加法［9］对随机过程w（t）进行模拟，得到一系列时程样本，根据这些样本可求得w（t）的协方差矩阵，从而对w（t）进行K-L级数展开。

假设材料弹性模量随机场E（x，θ）和密度随机场ρ（x，θ）的协方差函数均为指数型：

式中，σ为随机场的标准差；b为随机场的相关长度，此处取为单元杆件的长度；x1、x2表示随机场中两点的位置。结构材料弹性模量随机场的均值μE=2×1011Pa，变异系数0.10；材料密度随机场的均值μρ=7 850 kg/m3，变异系数0.10；风荷载随机过程的均值μw=0.4 kN/m2，脉动风压的标准差σw可通过下式计算［8，10］：

此处，则σw≈0.133 kN/m2。K-L级数展开项数取kC=kE=kρ=6，风荷载的K-L级数展开项数取kF=10，采用2阶混沌多项式对结构响应进行展开，展开项数KU=153。求解动力方程时，时间步长取0.02 s，风荷载持续时间取10 s，结构的阻尼比取0.02。

2.2 SSFEM计算结构响应的结果

分别取不同的弹性模量标准差σE、密度标准差σρ，即取不同的变异系数δE，δρ［11］，用谱随机有限元法计算桁架节点20每一时刻竖向位移的均值和标准差，并与MC法模拟结果进行对比。相对误差通过下式计算：

式中，RS为谱随机有限元法计算的结构响应均值或标准差的时程向量；RM为MC法计算的结构响应均值或标准差的时程向量；符号||·||2表示对向量取二范数。

利用SSFEM及MC法计算的节点20竖向位移均值与标准差时程的部分结果对比见图2和图3。

图2 节点20竖向位移均值时程（δE=δρ=0.1）

图3 节点20竖向位移标准差时程（δE=δρ=0.1）

从时程结果可以看出，结构位移响应的均值和标准差在经历一段波动变化后，逐渐保持一恒定的值，即趋于平稳。SSFEM与MC法计算结果的相对误差见表1。

表1 SSFEM与MC法计算结果相对误差

变异系数0.050.100.150.200.25误差/%均值0.330.390.691.312.58标准差19.1519.3519.9021.5728.38

可见，随着结构材料参数变异性的增加，SSFEM计算结果的误差逐渐增大。

以t=8 s为例，节点20竖向位移响应（δE=δρ=0.1）的概率密度函数和概率分布函数曲线见图4和图5。

图4 节点20竖向位移概率密度函数曲线（t=8 s）

图5 节点20竖向位移概率分布函数曲线（t=8 s）

可见，采用SSFEM计算的响应概率密度函数曲线与用MC法计算得到的曲线有一定的偏差，但两种方法计算得到的概率分布函数曲线已较接近。

3 谱随机有限元法的计算效率研究

通过试算发现，增加结构材料随机场的K -L展开项数对SSFEM计算结果精度的影响较小，外部风荷载的K-L展开项数对计算精度的影响较大。在结构材料随机场的K-L展开项数和混沌多项式展开阶数为定值的情况下（kE=kρ=6，p=2），荷载的K-L展开项数取值与SSFEM计算的结构响应标准差误差及计算用时的关系见图6。

图6 荷载K-L展开项数与SSFEM计算的结构响应
标准差误差及计算用时的关系（δE=δρ=0.1）

从图6可见，随着荷载K-L展开项数的增加，SSFEM计算结果的误差逐渐减小，计算时间也随之增加，当展开项数增加到一定值后，误差的减小并不明显，此时计算时间却依然有明显增加。

采用的计算机配置：CPU为Intel CORE i7 （2.50GHz），8GB内存。相应的MC法计算时间为1 733.7 s，可知，当kF=10时，SSFEM的计算用时约为MC法的1/4。

4 结 论

本文在同时考虑结构材料参数和风荷载随机性的情况下，利用SSFEM计算了一大跨平面桁架结构风致动力位移响应的统计特性，结论如下：

（1）SSFEM计算结果与蒙特卡罗法计算结果之间的相对误差较小，计算用时较短，说明利用SSFEM对结构进行风致响应分析是可行的。

（2）风荷载K-L展开项数的取值是影响SSFEM计算精度和效率的主要因素。当荷载K -L展开项数小于一定数值时，SSFEM的计算效率明显高于MC法，随着荷载K-L展开项数的增多，SSFEM计算效率迅速衰减，而计算精度没有明显提升。如何在保证计算效率的前提下，提高计算精度，还有待进一步研究。

本文仅考虑了风荷载的作用，为了方便工程设计使用，利用SSFEM分析结构在永久荷载和风荷载组合作用下位移响应的可靠度，也是后续需要研究的。

参考文献：

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Wind-induced response analysis of long-span truss structure based on spectral stochastic finite element method

Wang Ning，Lü Lingyi
（School of Civil Engineering，Southeast University，Nanjing 210096，Jiangsu）

Abstract：In the case of considering the uncertainties of both the material parameters of structure and the wind load，the random field of structural parameters and random process of wind load were modeled by Karhunen-Loève expansion；The random response of structure was represented by the polynomial chaos.On this basis，the spectral random finite element equation of truss structure's dynamic problems was established.In view of a long-span plane truss structure，the spectral stochastic finite element method（SSFEM）was used to calculate the dynamic displacement response statistics of the structure，and the results were compared with those from Monte Carlo（MC）simulation，the feasibility of SSFEM was verified，and the calculation efficiency of SSFEM was studied.

Key words：truss structure；SSFEM；Karhunen-Loève expansion；polynomial chaos；wind load；response expansion coefficient

中图分类号：TU 311.3；TU 323.4

文献标识码：A

文章编号：1673-8993（2016）03-0013-06

doi：10.13402/j.gcjs.2016.03.003

收稿日期：2016-03-04

作者简介：王 宁（1990-），男，硕士研究生。