草根荐文|玩转“角”概念

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学习理论的现代研究表明，理解性学习的关键在于建构知识之间的联系，而理解的程度则由联系的数目和强度决定.从这个角度来看，数学理解的本质就是数学知识的结构化、网络化和丰富联系．概念理解的关键也是构建联系，“概念学习的最终结果是形成一个概念系统.学生要理解一个数学概念，就必须围绕这个概念逐步构建一个概念网络，网络的结点越多、通道越丰富，概念理解就越深刻”

因此，在概念教学中，教师应当树立“整体观”和“系统观”，围绕核心概念，整合散见于教材各模块中的相关概念，“将概念组织为具有层次性、立体化的结构体系”，“帮助学生从不同角度认识概念，建立概念的多元联系表示”，从而真正透彻理解概念的本质.

李邦河院士指出，“数学根本上是玩概念的，不是玩技巧，技巧不足道也”.笔者在文中以“距离”概念为例，从静态理解和动态赏析两个方面论述了“玩概念”的一种教学实施方式；而本文将继续探索“玩概念”的途径——站在系统观上“玩概念”，包括在微观层面上洞悉概念的内涵和外延，在中观层面上分析概念在相应章节中的地位及其与相关概念的联系（横向联系），在宏观层面上了解概念的形成和发展（纵向联系）.

“角”作为刻画方向的度量，是几何的核心概念，贯穿于三角函数、向量、解析几何、立体几何等高中数学主干内容.笔者以为，在高三复习教学中，围绕“角”的概念，可以构建起联系“最值”、“有向”、“斜率”、“距离”等概念的网络体系，促进学生数学理解的结构化，从而有效提高复习效率.

1.洞悉概念的内涵与外延

1.1 “角”概念的内涵

 “角”的静态定义是具有公共端点的两条射线组成的图形，两条直线的夹角（“线线角”）是两条直线所形成的锐角或直角.“线线角”是几何中“角”概念的基石，几何中所有“角”最终都可以归结为某个“线线角”，这是“角”概念的内涵.

第一种理解：“线面角”“面面角”均可以看成是“线线角”的最值.从最值角度来理解“角”的概念，与“距离”达成了形式上的统一.

第二种理解：“角”是刻画方向的几何量，而平面的方向是由其法线决定的，所以“面面角”可以由两个平面的法线来确定，“线面角”就可以由直线和平面的法线来确定，这样就将“面面角”“线面角”最终转化为“线线角”.利用空间向量求空间角就是基于对“角”概念的这种理解.

历年高考题和名牌大学自主招生考试题是高三复习教学的风向标，备受一线教师的关注，而近几年的考题中体现“空间角”概念内涵的问题屡见不鲜，为我们在高三复习中深入理解“空间角”概念提供了丰富的素材.

1.2 “角”概念的外延

 “角”的动态定义是一条射线绕着它的端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形，一旦规定了正角、负角和零角，就将角的概念推广到任意角.这种“有向角”的定义，是“角”的外延概念，不仅可以自由表达更多的角（比如解析几何中直线到的角，直线的倾斜角是“到角”概念的特例），而且方便通过代数运算（比如加、减）来研究几何变换（比如对称、旋转）——“角”有了正负符号，就可以统一处理各种对称、旋转等几何变换而无需再顾及角的顺逆等细节问题.

在“诱导公式”、“两角和与差的三角函数”等三角恒等式的推导过程中，在向量、复数、极坐标等跟角有关的问题中，都涉及有向角的加、减运算，因此有向角的运算在高中阶段是应用广泛的重要内容，而各版本高中数学教材中并没有对此进行专门研究.笔者在教学中发现，用有向角来刻画几何变换（对称、旋转等）是学生的认知难点，而理解有向角的运算原理是破解难点的法宝，因此笔者建议在教材中增加“有向角的运算”内容，力图向学生讲清楚其中的道理，而不是简单地默认有向角的运算与实数的运算类似.

在高三复习教学中，站在更高的观点上审视概念本身，在微观层面上厘清“角”概念的内涵和外延，可以有效突破“空间角”“有向角”等认知难点，帮助学生深化对概念本质的认识.

2.分析概念的多元表征

“角”这个几何概念通常是通过三角函数实现代数化并广泛应用于向量、复数、几何等数学分支中，比如利用空间向量求空间角（“线线角”“线面角”“二面角”）都是算出角的正（余）弦值后再求角的大小；而三角恒等式、三角函数性质也为后面通过代数化来研究涉及角的问题提供了技术工具和知识准备.下面重点谈谈直线的倾斜角和向量夹角的代数表征.

2.1 直线倾斜角与斜率

在解析几何中，倾斜角是用来刻画直线在直角坐标系中倾斜程度的量，其代数表征是“斜率”，通过斜率就可以借助代数运算来研究几何问题了，这也是坐标法的本质．

关于倾斜角的代数化，值得探讨的问题是，为什么选取倾斜角的正切值来定义斜率？笔者以为，选取正切值来定义斜率的第三个原因是出于运算简便的考虑.

斜率是解析几何中的核心概念，可以通过斜率将圆、二次曲线等统一起来.

2.2 向量夹角与数量积

在高中数学内容中，“角”概念的另一个重要的代数表征是向量的数量积.向量兼具角度（方向）、距离（模）两大几何核心概念，向量数量积概念的引入，为向量的模和方向的研究提供了极佳的代数研究工具.

在中观层面上，分析概念的多元表征，沟通“角”概念与斜率、向量数量积等相关概念之间的联系，以点带面、串珠成线地将解析几何、解三角形、平面向量等知识有机串联起来，是高三复习教学中构建概念网络，帮助学生融会贯通相关概念的重要策略.

3.了解概念的形成与发展

如果说中观层面上研究的是核心概念与相关概念的横向联系，那么宏观层面上研究的是核心概念的纵向演变，即概念的形成与发展.“角”概念的形成基于朴素的几何直观，而用向量的数量积来表征“角”，将“角”概念提升到了新的高度，从此“角”的概念就被泛化了.

当然，在高三复习教学中，不需要深入探讨“角”概念发展的具体内容，三言两语“点到即止”.对概念演变的鸟瞰，不但会给学生心灵带来震撼，而且对于学生开拓视野、形成完整的概念系统、深入理解概念本质，都具有提纲挈领的重要作用.

由此可见，在高三复习教学中全方位地深入挖掘“角”的概念，不仅能够在高中数学的范围内横向联系诸多重要概念，突出数形结合的思想，还有助于建立起沟通高中数学与高等数学的桥梁.教师能够站在更高的观点来分析概念，站在系统观上“玩概念”，引导学生在复习概念时能触类旁通地解决问题，对于高三复习教学无疑是大有裨益的.

名家点评

这是一篇关于数学核心概念的力作，融会贯通初等高等数学知识——刘祖希老师

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