2016年高考北京卷理科数学压轴题

理科第8题（选择压轴题）：

袋中装有偶数个球，其中红球、黑球各占一半．甲、乙、丙是三个空盒．每次从袋中任意取出两个球，将其中一个球放入甲盒，如果这个球是红球，就将另一个球放入乙盒，否则就放入丙盒．重复上述过程，直到袋中所有球都被放入盒中，则（　　）

A．乙盒中黑球不多于丙盒中黑球

B．乙盒中红球与丙盒中黑球一样多

C．乙盒中红球不多于丙盒中红球

D．乙盒中黑球与丙盒中红球一样多

正确答案是B．

分析与解　每次操作只有可能发生下列种情形中的一种：

①甲盒中放入红球，乙盒中放入黑球；

②甲盒中放入黑球，丙盒中放入红球；

③甲盒中放入红球，乙盒中放入红球；

④甲盒中放入黑球，丙盒中放入黑球．

由于袋中的红球和黑球一样多，因此情形③和情形④出现的次数必然一样多，于是可得乙盒中红球与丙盒中黑球一样多，选B．只发生情形①即为选项A,D的反例，只发生情形②即为选项C的反例．

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理科第14题（填空压轴题）：

设函数

(1) 若，则的最大值为____ ；

(2) 若无最大值，则实数的取值范围是______．

正确答案是（1）；（2）．

分析与解　利用函数图象解决问题．令，则故在处取得极大值，在处取得极小值．令，则的图象经过点．函数与的图象如下图所示，

从中即可得出此题的结果．

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理科第18题（导数）：

设函数，曲线在点处的切线方程为．

(1) 求的值；

(2) 求的单调区间．

解　(1) 函数的导函数因此根据题意有解得

(2) 由(1)可知，

考察函数，由于故的最小值为由此可知．所以在上单调递增．

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理科第19题（解析几何）：

已知椭圆的离心率为，，的面积为．

(1) 求椭圆的方程；

(2) 设是椭圆上一点，直线与轴交于点，直线与轴交于点．求证：为定值．

解　根据题意画出示意图如图．

(1) 根据椭圆的离心率为可得，又的面积，于是可得，，因此椭圆的方程为

(2) 设点坐标为，可求得点坐标为，点坐标为，故

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理科第20题（解答压轴题）：

设数列．如果对小于的每个正整数都有，则称是数列的一个“时刻”．记是数列的所有“时刻”组成的集合．

(1) 对数列，写出的所有元素；

(2) 证明：若数列中存在使得，则；

(3) 证明：若数列满足，则的元素个数不小于．

解　(1) ．

(2) 若数列中存在使得，不妨假设是中第一个大于的数，则对小于的每个正整数都有，所以，故．

(3) (i)若，则由第(2)题可知，，此时结论成立．

(ii) 若，设，其中．不妨设．由题意，，所以同理，，所以以此类推，我们有 将以上各式叠加，我们得到故此时结论也成立．

综合(i)(ii)可知，若数列满足，则的元素个数不小于．

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