四年级奥数专题之盈亏问题 1. 小冬离家到县城去上学，他以每分钟 50 米的速度走了 2 分钟后，发觉可能要迟到 8 分钟， 于是他加快速度， 每分钟多走 10 米， 结果到学校时离上课还有 5 分钟 . 小冬家离学校 有多远？ 2. 学校有若干间宿舍，每间住 12 人，则空余 1 间；每间住 10 人，刚正好住完 . 问学校 有几间宿舍，住了多少人？ 3. 小玲买苹果，买 2.5 千克多 1 元 4 角 8 分，买 3 千克还差 9 角 7 分 . 问苹果多少钱一 千克，小玲带了多少钱？ 4. 四年级同学春游时租船游湖，若每只船乘 10 人，则还多 2 个座位；若每只船多坐 2 人，可少租一条船，这时每人可节省 5 角钱 . 问租一只船需要多少钱？ 5. 二班同学参加拔河比赛，分成若干组，每组 8 人，后来因受时间限制，改成每组 12 人，结果少了两组 . 问全班有多少学生？ 答案 1.4 千米 . 提示：50×8+（ 50+10 ）×5=700， 50×2+60×（700÷10 -5 ） =4000 （米） . 2.6 间房， 60 人 . 提示：12÷（ 12-10 ） =6 （间） . 3.4 元 9 角， 13 元 7 角 3 分 . 提示： 148+97=245 （分） . 4.24 元 . 提示：（ 12-2 ）÷2=5（只）， 5×1 0-2=48 （人） . 5.48 人 . 提示：2×8÷（ 12-8 ）×12=48（人） . 少先队员去植树，如果每人挖 5 个树坑，还有 3 个树坑没人挖 ; 如果其中两人各挖 4 个 树坑，其余每人挖 6 个树坑，就恰好挖完所有的树坑。请问，共有多少名少先队员 共挖了 多少树坑 盈亏问题答案 ：解这道题的关键在于条件的转换，把 " 如果其中两人各挖 4 个树坑，其 余每人挖 6 个树坑，就恰好挖完所有的树坑 " ， 转换成 " 每人挖 6 个树坑，还差 2× (6-4) 个树 坑。 " 则本题成为 " 一盈一亏 " 的盈亏问题。所以〔 3+2× (6-4) 〕 ÷ (6-5)=7( 人 ) ， 7× 5+3=38( 个 ) 树坑。 盈亏问题公式：总差 ÷ 分差 = 份数。一盈一亏中：盈 + 亏 = 总差 ; 在双盈或双亏中：大数 - 小数 = 总差 ; 份数在不同的题目中表示不同的意思。此题表示参与分配的人数。 框苹果分给幼儿园的小朋友，如果每人分 5 个苹果，还剩 32 个；如果每 人分 8 个苹果，还有 5 个小朋友分不到苹果，这批苹果有多少个？ 分析：本题是一道稍有变化的盈亏问题。已知条件 " 如果每人分 8 个苹果， 还有 5 个小朋友分不到 " 可转化为 " 如果每人分 8 个，还差 8 ×5=40（个）苹果。 转化后的条件：每人 5 个剩 32 个（盈） 每人 8 个差 40 个（亏） 盈亏的总额是（ 32+40 ）个，每人两次分配的差是（ 8 － 5 ）个。 解答： （32+8×5 ）÷（ 8-5 ） =24 （人）小朋友的人数 5 ×24+32=152 （个）苹果总数 「小结」 1. 盈亏问题的基本公式是：盈亏总额（总差额）÷每人两次分配 数的差 = 人数 2. 盈亏总额（总差额）在题目中往往没有直接给出，一般可按以下方法求出 ①一盈一亏：盈亏总额 = 盈数 + 亏数 ②两盈：盈亏总额 = 大盈数 - 小盈数 ③两亏：盈亏总额 = 大亏数 - 小亏数 例 1 小朋友分糖果，若每人分 4 粒则多 9 粒；若每人分 5 粒则少 6 粒。问：有多少个小朋 友分多少粒糖？ 分析： 由题目条件可以知道， 小朋友的人数与糖的粒数是不变的。比较两种分配方案， 第一 种方案每人分 4 粒就多 9 粒， 第二种方案每人分 5 粒就少 6 粒， 两种不同的方案一多一少相 差 9 ＋ 6 ＝ 15 （粒）。相差的原因在于两种方案的分配数不同，第一种方案每人分 4 粒，第 二种方案每人分 5 粒，两次分配数之差为 5 － 4 ＝ 1 （粒）。每人相差 1 粒，多少人相差 15 粒呢？由此求出小朋友的人数为 15÷ 1 ＝ 15 （人），糖果的粒数为 4× 15 ＋ 9 ＝ 69 （粒）。 解 ：（ 9 ＋ 6 ） ÷ （ 5-4 ）＝ 15 （人）， 4× 15 ＋ 9 ＝ 69 （粒）。 答：有 15 个小朋友，分 69 粒糖。 例 2 小朋友分糖果，若每人分 3 粒则剩 2 粒；若每人分 5 粒则少 6 粒。问：有多少个小朋 友？多少粒糖果？ 分析：本题与例 1 基本相同，例 1 中两次分配数之差是 5-4=1 （粒），本题中两次分配数之 差是 5-3 ＝ 2 （粒）。例 1 中，两种分配方案的盈数与亏数之和为 9 ＋ 6 ＝ 15 （粒），本题中， 两种分配方案的盈数与亏数之和为 2 ＋ 6=8 （粒）。仿照例 1 的解法即可。 解 ：（ 6 ＋ 2 ） ÷ （ 4 —— 2 ）＝ 4 （人）， 3× 4 ＋ 2 ＝ 14 （粒）。 答：有 4 个小朋友， 14 粒糖果。 由例 1 、例 2 看出，所谓盈亏问题，就是把一定数量的东西分给一定数量的人，由两种分配 方案产生不同的盈亏数， 反过来求出分配的总人数与被分配东西的总数量。 解题的关键在于 确定两次分配数之差与盈亏总额（盈数 + 亏数），由此得到求解 盈亏问题的公式 ： 分配总人数 = 盈亏总额 ÷ 两次分配数之差 。 需要注意的是，两种分配方案的结果不一定总是一 “ 盈 ” 一 “ 亏 ” ，也会出现两 “ 盈 ” 、两 “ 亏 ” 、 一 “ 不盈不亏 ” 一 “ 盈 ” 或 “ 亏 ” 等情况。 例 3 小朋友分糖果，每人分 10 粒，正好分完；若每人分 16 粒，则有 3 个小朋友分不到糖 果。问：有多少粒糖果？ 分析与解 ：第一种方案是不盈不亏，第二种方案是亏 16× 3 ＝ 48 （粒），所以盈亏总额是 0 ＋ 48=48 （粒），而两次分配数之差是 16 —— 10 ＝ 6 （粒）。由盈亏问题的公式得 有小朋友（ 0 ＋ 16× 3 ） ÷ （ 16 —— 10 ）＝ 8 （人）， 有 糖 10× 8 ＝ 80 （粒）。 下面的几道例题是购物中的盈亏问题。 例 4 一批小朋友去买东西，若每人出 10 元则多 8 元；若每人出 7 元则少 4 元。问：有多少 个小朋友？东西的价格是多少？ 分析与解 ： 两种购物方案的盈亏总额是 8 ＋ 4 ＝ 12 （元） ， 两次分配数之差是 10 — 7 ＝ 3 （元） 。 由公式得到 小朋友的人数（ 8 ＋ 4 ） ÷ （ 10 —— 7 ）＝ 4 （人）， 东西的价格是 10× 4 —— 8 ＝ 32 （元）。 例 5 顾老师到新华书店去买书， 若买 5 本则多 3 元； 若买 7 本则少 1.8 元。 这本书的单价是 多少？顾老师共带了多少元钱？ 分析与解 ：买 5 本多 3 元，买 7 本少 1.8 元。盈亏总额为 3 ＋ 1.8=4.8 （元），这 4.8 元刚好 可以买 7 —— 5 ＝ 2 （本）书，因此每本书 4.8÷ 2=2.4 （元），顾老师共带钱 2.4× 5 ＋ 3 ＝ 15 （元）。 例 6 王老师去买儿童小提琴，若买 7 把，则所带的钱差 110 元；若买 5 把，则所带的钱还 差 30 元。问：儿童小提琴多少钱一把？王老师带了多少钱？ 分析：本题在购物的两个方案中，每一个方案都出现钱不足的情况，买 7 把小提琴差 110 元，买 5 把小提琴差 30 元。从买 7 把变成买 5 把，少买了 7 —— 5=2 （把）提琴，而钱的差 额减少了 110 —— 30 ＝ 80 （元），即 80 元钱可以买 2 把小提琴，可见小提琴的单价为每把 40 元钱。 解 ：（ 110 —— 30 ） ÷ （ 7 —— 5 ）＝ 40 （元） 40× 7 —— 110 ＝ 170 （元）。 答：小提琴 40 元一把，王老师带了 170 元钱。 1 ．小朋友分糖果，每人 3 粒，余 30 粒；每人 5 粒， 少 4 粒。问：有多少个小朋友？多少粒 糖？ 2 ．一个汽车队运输一批货物，如果每辆汽车运 3500 千克，那么货物还剩下 5000 千克；如 果每辆汽车运 4000 千克，那么货物还剩下 500 千克。问：这个汽车队有多少辆汽车？要运 的货物有多少千克？ 3 ．学校买来一批图书。若每人发 9 本，则少 25 本；若每人发 6 本，则少 7 本。问：有多少 个学生？买了多少本图书？ 4 ．参加美术活动小组的同学，分配若干支彩色笔。如果每人分 4 支，那么多 12 支；如果每 人分 8 支，那么恰有 1 人没分到笔。问：有多少同学？多少支彩色笔？ 5 ．红星小学去春游。如果每辆车坐 60 人，那么有 15 人上不了车；如果每辆车多坐 5 人， 那么恰好多出一辆车。问：有多少辆车？多少个学生？ 6 ．某数的 8 倍减去 153 ，比其 5 倍多 66 ，求这个数。 7 ． 某厂运来一批煤， 如果每天烧 1500 千克， 那么比原计划提前一天烧完； 如果每天烧 1000 千克，那么将比原计划多用一天。现在要求按原计划烧完，那么每天应烧煤多少千克？ 8 ．同学们为学校搬砖，每人搬 18 块，还余 2 块；每人搬 20 块，就有一位同学没砖可搬。 问：共有砖多少块？ 1234567890ABCDEFGHIJKLMNabcdefghijklmn!@#$%^&&*()_+.一三五七九贰肆陆扒拾，。青玉案元夕东风夜放花千树更吹落星如雨宝马雕车香满路凤箫声动玉壶光转一夜鱼龙舞蛾儿雪柳黄金缕笑语盈盈暗香去众里寻他千百度暮然回首那人却在灯火阑珊处
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