一次 二次 三次 四次 N 次 全程 1 个 3 个 5 个 7 个 （ 2N-1 ）个 时间 1 倍 3 倍 5 倍 7 倍 （ 2N-1 ）倍 甲行的路程 X 米 3X 米 5X 米 7X 米 （ 2N-1 ） X 米 乙行的路程 Y 米 3Y 米 5Y 米 7Y 米 （ 2N-1 ） Y 米 全程个数 = 相遇次数× 2-1 两次相遇：全程 = 相遇时间×（速度和）÷ 3 三次相遇：全程 = 相遇时间×（速度和）÷ 5 四次相遇：全程 = 相遇时间×（速度和）÷ 7 例 1.A 、 B 两城相距 130 千米，小红从 A 向 B 走，每小时走 6 千米，小明从 B 地走向 A ，每小时走 7 千米。小军骑自行车在小红和小明间联络，小军从 A 走向 B ，每小时走 15 千米。 三人同时动身， 小军在途中遇见的小明即折顺往 A 走， 遇见了小红， 又折回向 B 走， 再遇见了小明又折回往 A 走??一直到三人在途中相遇为止。小军共走了多少千米？ 分析： 分步计算小军走的路程是没有办法进行的， 但如果考虑到小军的速度是已知的， 那只要求出小军走的时间就成了，而小军走的时间 = 小红与小明的相遇时间。这是问题的 关键。 中间来回走的人路程 = 全程÷（两端相遇人的速度和）×中间来回人的速度 130 ÷（ 6+7 ）× 15=150 （千米） 答：小军一共走了 150 千米。 例 2. 甲、 乙两车分别从 A 、 B 两地同时相对开出。 第一次相遇时， 两车离 B 地 7 千米， 两车继续以原来速度前进， 各车到站后立即返回， 第二次相遇， 两车距 A 地 4 千米。 求 A 、 B 两地相距多少千米？ 分析： 第一次相遇时，乙车行了 7 千米，此时两车走了一个总距离，也就是说走完一个总路 程乙车能走 7 千米。第二次相遇时，两车走了三个总距离，由于两车速度不变，可以知道 这时乙车应该走了 3 个 7 千米，即 21 千米。根据题意可知，实际乙车总共所走的路程为 一个总路程 +4 千米， 即一个总路程 +4 千米 =21 千米， 所以一个总路程 =17 千米， 也就是 A 、 B 两地的距离为 17 千米。 两次相遇距不同点，全程 = 第一次距的路程× 3- 第二次相遇距另一点的距离 3 × 7-4=17 （千米） 答： A 、 B 两地的距离为 17 千米。 例 3. 甲、 乙两车分别从 A 、 B 两地同时相对开出。 第一次相遇时， 两车离 A 地 15 千米， 张林整理奥数：行程之相遇问题 两车继续以原来速度前进， 各车到站后立即返回， 第二次相遇， 两车距 A 地 5 千米。 求 A 、 B 两地相距多少千米？ 分析：直线二次相遇问题，具体运动过程如下图： 因为两次都是距离 A 地， 所以只看从 A 出发的甲行的路程， 第一次相遇两人共行一个 全程，甲行了自己的一倍路程；二次相遇时，两人共行了三个全程，甲行了自己的三倍路 程；而这三倍路程 + 第二次距 A 点的距离 = 两个全程，所以就有： 两次相遇距相同点， 全程 = （第一次距的路程× 3+ 第二次相遇距另一点的距离） ÷ 2 （ 15 × 3+5 ）÷ 2=25 （千米） 答： AB 两地相距 25 千米。 例 4. 甲、乙两车同时从 A 、 B 两地出发相向而行，两车在距 B 地 64 千米处第一次相 遇。相遇后两车仍以原速继续行驶，并且在到达对方出发点后，立即沿原路返回。途中两 车在距 A 地 48 千米处第二次相遇，问两次相遇点相距多少千米？ 分析：直线二次相遇距不同点相遇问题，具体运动过程如下图所示。第一次距 地， 由上图可知， 全程 = 第一次距的路程× 3- 第二次相遇距另一点的距离。 全程： 64 × 3 － 48=144 （千米） 两次相遇点相距 144 － 48 － 64=32 千米。 答：两次相遇地点相距 32 千米。 例 5. 甲乙两人分别从 AB 两地同时相向而行，甲的速度是乙的 1.5 倍，两人相遇后继 续行进，甲到 B 地，乙到 A 地后立即返回。已知两人第四次相遇的地点距离第三次相遇的 地点 20 千米，那么 AB 两地相距多少千米？ 分析：先要找到三次相遇点和第四次相遇点，然后才能知道全程。 甲速：乙速 =1.5=2 ： 3 ，而路程比 = 速度比 =2 ： 3 ，总路程为 5 份。 第三次相遇时，乙走的路程是 2 × 5=10 ，说明相遇的地点恰好回到了 B 地， 第四次相遇时，乙走的总路程是 2 × 7=14 ，距离 B 地 14-5 × 2=4 ， 两次相遇地点是距离 B 点的 4 份，即 20 千米， 则 A 、 B 两地的距离是 20 ÷ 4 × 5=25 千米 1.5=2 ： 3 20 ÷（2×7 - 2×5）× 5=25 （千米） 答： 例 6. 两地相距 10 千米 , 一个班学生 45 人 , 由 A 地去 B 地 . 现有一辆马车 , 车速是人步行 速度的 3 倍 , 马车每次可乘坐 9 人 , 在 A 地先将第一批 9 名学生送往 B 地 , 其余学生同时步 张林整理奥数：行程之相遇问题 行向 B 地前进 ; 车到 B 地后 , 立即返回 , 在途中与步行学生相遇后 , 再接 9 名学生送往 B 地 , 余下学生继续向 B 地前进； 这样多次往返 , 当全体学生都到达 B 地时 , 马车共行了多少 千米？ 分析：因为马车的速度是人步行速度的 3 倍 , 所以如下图所示 , 。 马车第一次到达 B 地时行了 10 千米。 第二、 三、 四、 五次到达 B 地时 , 分别行了 20 、 25 、 27.5 、 28.75 千米 例 7. 某人翻越一座山用了 2 小时，返回用了 2.5 小时，他上山的速度是 3000 米 / 小 时，下山的速度是 4500 米 / 小时。问翻越这座山要走多少米？ 分析：先要理解山路两侧分别被走了两次，一次是以 3000m/h 的速度走的，一次是以 4500m/h 的速度走的，所用的全部时间是 2.5+2 ； 解：设山路一共为 x 米。 x/3000+x/4500=2+2.5 ， x=8100 答： 例 8. 客车与货车分别从 AB 两地出发。客车与货车相遇时所经过的路程比是 5 ： 4 ， 如果客车速度不变， 12 小时到达终点。货车在相遇后速度增加了 18 千米每小时，这样就 可以同时到达对方的出发点。问两地距离多少米。 分析：客车与货车相遇时所经过的路程比是 5 ： 4 ，总路程为 9 份，也就是它们的速 度比是 5 ： 4 ，那么货车的速度提高到跟客车一样的话（即提高到自己的 4 分之 5 ） ，也只 能再行下去 4 份，还有 1 份；那只有提高到客车的速度的 4 分之 5 （即提高到货车的 4 分 之 5 乘 4 分之 5 ）的时候才能同时到达。这就是说 18 对应的分率就是： （ 4 分之 5 乘 4 分 之 5-1 ） ，这样就可以求出货车的速度： 18 除以（ 4 分之 5 乘 4 分之 5-1 ） =32 千米每小时。 也就可以求出客车的速度及全程了： 32 乘 4 分之 5 乘 12=480 千米。答： 例 9. 甲、乙两车分别从 A 、 B 两地同时出发，相向而行。甲车每小时行 45 千米，乙 车每小时行 36 干米。相遇以后继续以原来的速度前进，各自到达目的地后又立即返回， 这样不断地往返行驶。已知途中第二次相遇地点与第三次相遇地点相距 40 千米。 A 、 B 两 地相距多远 解析：如图，用线段图法， 故时间相同的情况下， S 甲： S 乙 =V 甲： V 乙 =45 ： 36=5:4, 全程为 9 份，甲乙第二次 相遇时甲距 A 点： 2-5/9 × 3=3/9, 三次相遇时甲距 A 点 5/9× 5-2=7/9 。第二次和第第二次 之间相距： 7/9-3/9=4/9 ，故全长 S=40 ÷ 4/9=90 千米 |
