行程问题 这一讲中,我们将要研究的是行程问题中一些综合性较强的题目.为此,我们需要先回顾一下已学过的基本数量关系: 路程=速度3时间; 总路程=速度和3时间; 路程差=速度差3追及时间。 例2 甲、乙、丙三人行路,甲每分钟走60米,乙每分钟走50米,丙每分钟走40米.甲从A地,乙和丙从B地同时出发相向而行,甲和乙相遇后,过了15分钟又与丙相遇,求A、B两地间的距离。 画图如下: 分析 结合上图,如果我们设甲、乙在点C相遇时,丙在D点,则因为过15分钟后甲、丙在点E相遇,所以C、D之间的距离就等于(40+60)315=1500(米)。 又因为乙和丙是同时从点B出发的,在相同的时间内,乙走到C点,丙才走到D点,即在相同的时间内乙比丙多走了1500米,而乙与丙的速度差为50-40=10(米/分),这样就可求出乙从B到C的时间为1500÷10=150(分钟),也就是甲、乙二人分别从A、B出发到C点相遇的时间是150分钟,因此,可求出A、B的距离。 解:①甲和丙15分钟的相遇路程: (40+60)315=1500(米)。 ②乙和丙的速度差: 50-40=10(米/分钟)。 ③甲和乙的相遇时间: 1500÷10=150(分钟)。 ④A、B两地间的距离: (50+60)3150=16500(米)=16.5千米。 答:A、B两地间的距离是16.5千米. 例3 甲、乙、丙是一条路上的三个车站,乙站到甲、丙两站的距离相等,小强和小明同时分别从甲、丙两站出发相向而行,小强经过乙站100米时与小明相遇,然后两人又继续前进,小强走到丙站立即返回,经过乙站300米时又追上小明,问:甲、乙两站的距离是多少米? 先画图如下: 分析 结合上图,我们可以把上述运动分为两个阶段来考察: ①第一阶段——从出发到二人相遇: 小强走的路程=一个甲、乙距离+100米, 小明走的路程=一个甲、乙距离-100米。 ②第二阶段——从他们相遇到小强追上小明,小强走的路程=2个甲、乙距离-100米+300米=2个甲、乙距离+200米, 小明走的路程=100+300=400(米)。 从小强在两个阶段所走的路程可以看出:小强在第二阶段所走的路是第一阶段的2倍,所以,小明第二阶段所走的路也是第一阶段的2倍,即第一阶段应走400÷2=200(米),从而可求出甲、乙之间的距离为200+100=300(米)。 解略。 例5 甲、乙二人分别从A、B两地同时出发,如果两人同向而行,甲26分钟赶上乙;如果两人相向而行,6分钟可相遇,又已知乙每分钟行50米,求A、B两地的距离。 先画图如下: 分析 若设甲、乙二人相遇地点为C,甲追及乙的地点为D,则由题意可知甲从A到C用6分钟.而从A到D则用26分钟,因此,甲走C到D之间的路程时,所用时间应为:(26-6)=20(分)。 同时,由上图可知,C、D间的路程等于BC加BD.即等于乙在6分钟内所走的路程与在26分钟内所走的路程之和,为503(26+6)=1600(米).所以,甲的速度为1600÷20=80(米/分),由此可求出A、B间的距离。 解:503(26+6)÷(26-6)=50332÷20=80(米/分) (80+50)36=13036=780(米) 答:A、B间的距离为780米。 例6 一条公路上,有一个骑车人和一个步行人,骑车人速度是步行人速度的3倍,每隔6分钟有一辆公共汽车超过步行人,每隔10分钟有一辆公共汽车超过骑车人,如果公共汽车始发站发车的时间间隔保持不变,那么间隔几分钟发一辆公共汽车? 分析 要求汽车的发车时间间隔,只要求出汽车的速度和相邻两汽车之间的距离就可以了,但题目没有直接告诉我们这两个条件,如何求出这两个量呢? 由题可知:相邻两汽车之间的距离(以下简称间隔距离)是不变的,当一辆公共汽车超过步行人时,紧接着下一辆公共汽车与步行人之间的距离就是间隔距离,每隔6分钟就有一辆汽车超过步行人,这就是说:当一辆汽车超过步行人时,下一辆汽车要用6分钟才能追上步行人,汽车与行人的路程差就是相邻两汽车的间隔距离。 对于骑车人可作同样的分析.因此,如果我们把汽车的速度记作V汽,骑车人的速度为V自,步行人的速度为V人(单位都是米/分钟),则: 间隔距离=(V汽-V人)36(米), 间隔距离=(V汽-V自)310(米), V自=3V人。 综合上面的三个式子,可得:V汽=6V人,即V人=1/6V汽,则: 间隔距离=(V汽-1/6V汽)36=5V汽(米) 所以,汽车的发车时间间隔就等于: 间隔距离÷V汽=5V汽(米)÷V汽(米/分钟)=5(分钟)。 (解略)。 例7 甲、乙二人沿铁路相向而行,速度相同,一列火车从甲身边开过用了8秒钟,离甲后5分钟又遇乙,从乙身边开过,只用了7秒钟,问从乙与火车相遇开始再过几分钟甲乙二人相遇? 分析 要求过几分钟甲、乙二人相遇,就必须求出甲、乙二人这时的距离与他们速度的关系,而与此相关联的是火车的运动,只有通过火车的运动才能求出甲、乙二人的距离.火车的运行时间是已知的,因此必须求出其速度,至少应求出它和甲、乙二人的速度的比例关系.由于本问题较难,故分步详解如下: ①求出火车速度V车与甲、乙二人速度V人的关系,设火车车长为l,则: (i)火车开过甲身边用8秒钟,这个过程为追及问题:故l=(V车-V人)38;(1) (ii)火车开过乙身边用7秒钟,这个过程为相遇问题:故l=(V车+V人)37.(2) 由(1)、(2)可得:8(V车-V人)=7(V车+V人), 所以,V车=l5V人。 ②火车头遇到甲处与火车头遇到乙处之间的距离是: (8+536O)3(V车+V人)=308316V人=4928V人。 ③求火车头遇到乙时甲、乙二人之间的距离。 火车头遇甲后,又经过(8+5360)秒后,火车头才遇乙,所以,火车头遇到乙时,甲、乙二人之间的距离为:4928V人-2(8+5360)V人=4312V人。 ④求甲、乙二人过几分钟相遇? 习题七 1.晶晶每天早上步行上学,如果每分钟走60米,则要迟到5分钟,如果每分钟走75米,则可提前2分钟到校.求晶晶到校的路程? 2.甲、乙、丙三人行路,甲每分钟走60米,乙每分钟走67.5米,丙每分钟走75米,甲乙从东镇去西镇,丙从西镇去东镇,三人同时出发,丙与乙相遇后,又经过2分钟与甲相遇,求东西两镇间的路程有多少米? 3.A、B两辆汽车同时从甲、乙两站相对开出,两车第一次在距甲站32公里处相遇,相遇后两车继续行驶,各自到达乙、甲两站后,立即沿原路返回,第二次在距甲站64公里处相遇,甲、乙两站间相距多少公里? 4.周长为400米的圆形跑道上,有相距100米的A、B两点,甲、乙两人分别从A、B两点同时相背而跑,两人相遇后,乙即转身与甲同向而跑,当甲跑到A时,乙恰好跑到B.如果以后甲、乙跑的速度和方向都不变,那么追上乙时,甲共跑了多少米(从出发时算起)? 5.老王从甲城骑自行车到乙城去办事,每小时骑15千米,回来时改骑摩托车,每小时骑33千米,骑摩托车比骑自行车少用1.8小时,求甲、乙两城间的距离。 6.速度为快、中、慢的三辆汽车同时从同一地点出发,沿同一公路追赶前面一个骑车人,这三辆车分别用6分钟、10分钟、12分钟追上骑车人,现在知道快车每小时24公里,中速车每小时20公里,那么慢车每小时行多少公里? 7.在环形跑道上,两人都按顺时针方向跑时,每12分钟相遇一次,如果两人速度不变,其中一人改成按逆时针方向跑,每隔4分钟相遇一次,问两人各跑一圈需要几分钟? |
|
来自: 羊头yang-tou > 《五年级》