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这是我所在地区----天津市2010年的高考真题，那几年排列组合题目通常位居选择题或者填空题的最后一道，难度较大. 解决涂色问题的基本方法是两个计数原理----即分类加法和分步乘法计数原理. 何为分类加法原理？ 比如，我们假设从天津到北京有两种交通方式，一是坐汽车，一是坐火车，已知每天汽车有3个班次，火车有2个车次，问一天中从天津到北京有多少种到达方法？ 根据上述原理，到达方法共有3+2=5种. 何为分步乘法计数原理？ 比如，我们假设从天津到北京必须经过廊坊，每天从天津到廊坊的车有3班，从廊坊到北京的车有2班，问一天中从天津到北京有多少种到达方式？ 根据上述原理，到达方式共有3*2=6种. 回到本题，我们依次对各顶点进行涂色. 一、首先对A涂色，有4种选择. 二、然后对D涂色，因为不能与A同色，故有3种选择. 三、再往下涂，我们是选择涂E点还是选择涂C点呢？ 注意到，A,D,E三点构成封闭的三角形，如果涂E点，则可确定涂色选择是2种. 如果涂C点，则C点处可能与A点颜色相同，也可能不同，需要分类讨论. 为减少讨论，化繁为简，我们先涂E点，有2种颜色可选. 四、接下来涂F点. F点与E点颜色不能相同，貌似有3中颜色可选. 如果你认为F点有3中颜色可选的话，那么B点有几种可选呢？ 答案是不确定. 因为不清楚F点和A点是否同色，即F点的选择影响了B点的选择，所以需要对F的选择进行讨论. 同样F点是否与D点同色也影响C点的选择. 涂色问题最重要的能力就是分类讨论的能力.当然，更重要的是，要找到分类讨论的标准. 现在讨论的标准清楚了，就是要分析F点是否同A，是否同D. 1.若点F与点A同色，下面涂点B. B有几种选择呢？ B貌似有3种选择，只要不与A同色即可. 可是如果你认为B有3种选择的话，那么C有几种选择呢？ 答案是不确定. 因为不清楚B点是否与D点同色，即B点的选择影响了C的选择，所以需要对B的选择进行讨论. （1）若B点与D点同色，则点C有2种选择. 涂色完毕，方法数为4*3*2*1*1*2 （2）若B点与D点不同色，则B点有2种选择，C点有1种选择. 涂色完毕，方法数为4*3*2*1*2*1 2.若点F与点D同色，则点B有2种选择，点C有2种选择. 涂色完毕，方法数为4*3*2*1*2*2 3.若点F不与点A同色，也不与点D同色，则点F有1种选择.下面涂B点. （1）若B点与D点同色，则C点有2种选择 涂色完毕，方法数为4*3*2*1*1*2 （2）若B点与D点不同色，则B点有1种选择，C点有1种选择. 涂色完毕，方法数为4*3*2*1*1*1 分类讨论结束. 你晕了没？ 有童鞋可能认为麻烦，但这就是涂色问题的通法.别人乱了，我不乱，我就能得分.复杂的涂色问题就是要锻炼考生在纷繁复杂的讨论中保持冷静、保持镇定的能力. 下面计算方法总数. 4*3*2*（1*1*2+1*2*1+1*2*2+1*1*2+1*1*1）=264种，选B. 下面我们换一种思考问题的角度. 我们来重新观察这个图形.
所谓正难则反，从反面思考会不会容易一些呢？ 我们这样设计思路：两个三角形先独立涂色，然后按照A-B,E-F,D-C三组的形式连接到一起. 为符合题意，我们要从总数中减去3组同色的，2组同色的，1组同色的. 两三角形独立涂色，则方法总数为：4*3*2*4*3*2 若3组都同色，即A与B同色，E与F同色，D与C同色，说明一个三角形涂色完成之后，另外一个三角形的涂色情况就被确定了. 所以，3组都同色的方法数为4*3*2 再研究2组同色的情况. 我们假设ADE已涂好，B与A同色，F与E同色，C不与D同色，那C有几种选择呢？ 从上图能看到，C其实只有1种选择. 当然，也可能B与A同色，C与D同色；或者F与E同色，C与D同色，情况和上面相同. 所以，2组同色的方法数为4*3*2*1*3 最后研究1组同色的情况. 我们假设ADE已涂好，B与A同色，F不与E同色，C不与D同色，那么F与C分别有几种选择呢？
所以1组同色的方法数为4*3*2*（1*1+1*2）*3. 最后，我们来计算符合题意的方法数. 4*3*2*4*3*2-4*3*2-4*3*2*1*3-4*3*2*（1*1+1*2）*3=264，选B. 小结： 1.优先涂封闭图形； 2.如果前面元素的选择影响后面元素，要分类讨论； 3.正难则反，不妨试试从反面思考，开拓眼界和思路. |
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