【原】线面角和点面距

立体几何方面的文章写的比较少，借这个机会说一说线面角和点面距.

首先来认识线面角.

1.定斜足.

2.在斜线上找一个不同于斜足的点.

如上图所示，在斜线上找一个不同于斜足O的点A.

3.过该点作平面的垂线，定垂足.

如上图所示，过点A作AB垂直于平面，垂足为点B.

4.定射影

连接斜足O与垂直B，得到斜线OA在平面内的射影OB.

5.定线面角

斜线与射影所成的锐角记为该直线与平面所成的角，简称线面角.当然，线面垂直时线面角为90度.

这个方法就是典型的“定义法”.

观察上面的5步，最困难的是第3步，即找到平面的垂线是关键所在.

回到本题第（1）问，按照定义法去寻找线面角.

1. 定斜足

A1B与平面ABD的交点B为斜足.

2.在A1B上再找一点.

找A1点呢，还是找E点呢？

显然，找E点比较好，因为E点在平面ABD的射影已知.

3.过E点作平面ABD的垂线，定垂足.

显然，EG垂直于平面ABD，G为垂足.

4.定射影

连接B点和G点得到射影BG

5.定线面角

斜线A1B与射影BG所成的角EBG就是所求的线面角.

本题难就难在长度的计算.

我们取AB的中点F，连接DF.根据三角形重心的特点，点G在DF的1/3点处（靠近F点）

如何求EG呢？

求边的长度的方法，就是把这条边放入到它所在的三角形（最好是直角三角形）或者平面图形中.利用解三角形的知识，或者利用平面几何的知识进行求解.

把EG放到哪个三角形中呢？

三角形EBG是需要求解的三角形，显然不能放在这个三角形中.

我们要尽量放在直角三角形中，因为计算比较简便；尽量放在已知条件比较多的三角形或平面图形中，以利于求解.

经过权衡，我们把EG放在三角形EFD中.下面，画出这个平面三角形.

三角形EFD是否为直角三角形呢？

为方便观察，我们可以画出EG所在的平面四边形EFCD.

事实上，这个平面四边形EFCD为矩形.

下面作一简要证明.

在矩形EFCD中，我们来求解相关的边长.

根据这个图形的特点（直角三角形加上斜边的高线），我们多次用到射影定理.

下面求解EB.

EG，EB都已知，线面角大小可求.

最后一步用到的反三角函数，没有学习过的童鞋不用懂，哈哈.

再说第（2）问.

求点到平面的距离（简称“点面距”）的方法有两种：

1. 定义法：作出该点到平面的垂线，确定垂足，那么该点到垂足的距离就是点面距；

2. 等体积法：把点面距看作三棱锥的高，利用三棱锥的顶点和底面可以任意变换的特点，实现高线的转化.

本题D点到平面AA1E的距离已知，所以采用方法2.

为什么D点到平面AA1E的距离已知呢？

下面我们采用等体积法求A1点到平面ADE的距离.

等体积法也可用于求解线面角，以后闲暇时再写.

两点经验：

1.求边的长度要把边放到它所在的三角形或平面图形中，这样有利于计算，这也是转化与化归思想的体现，即把立体几何问题转化为平面几何问题.

多画平面图形，多画平面图形，多画平面图形，重要的事情说三遍.

2.等体积法用于求点面距和线面角，能有效降低思维量.

有兴趣的童鞋可用空间向量法解一遍试试.

我写累了，您也看累了，听个民乐乐呵乐呵吧.