五年级奥数：最大公约数与最小公倍数

例1 两个自然数的最大公约数是6，最小公倍数是72。已知其中一个自然数是18，求另一个自然数。

解：由上面的结论，另一个自然数是（6×72）÷18=24。

例2 两个自然数的最大公约数是7，最小公倍数是210。这两个自然数的和是77，求这两个自然数。

分析与解：如果将两个自然数都除以7，则原题变为：“两个自然数的最大公约数是1，最小公倍数是30。这两个自然数的和是11，求这两个自然数。”

改变以后的两个数的乘积是1×30=30，和是11。

30=1×30=2×15=3×10=5×6，

由上式知，两个因数的和是11的只有5×6，且5与6互质。因此改变后的两个数是5和6，故原来的两个自然数是

7×5=35和7×6=42。

例3 已知a与b，a与c的最大公约数分别是12和15，a，b，c的最小公倍数是120，求a，b，c。

分析与解：因为12，15都是a的约数，所以a应当是12与15的公倍数，即是[12，15]=60的倍数。再由[a，b，c]=120知， a只能是60或120。[a，c]=15，说明c没有质因数2，又因为[a，b，c]=120=23×3×5，所以c=15。

因为a是c的倍数，所以求a，b的问题可以简化为：“a是60或120，（a，b）=12，[a，b]=120，求a，b。”

当a=60时，

b=（a，b）×[a，b]÷a

=12×120÷60=24；

当a=120时，

b=（a，b）×[a，b]÷a

=12×120÷120=12。

所以a，b，c为60，24，15或120，12，15。