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上海中学高一学生高继扬拿下了今年国际奥林匹克数学竞赛金牌。16岁的他对数学有浓厚兴趣，解题带来不一样的成就感，他每天会花两个小时高效“刷题”，除了老师提供的题库习题，还会自己寻找课外读物和题集。国际奥数冠军的“刷题”方法和普通学生有什么不同？他的私家题集又有哪些？让一鸣名师工作室黄老师为您独家揭秘。 稚气未脱的高继扬 第55届国际数学奥林匹克（IMO）中，来自上海中学的高一学生高继扬以满分成绩获得了金牌。 这样的结果在上中的老师们看来并不算意外，被誉为“天才”的他，早在初三的时候就入选了国际数学奥林匹克竞赛的国家集训队。 国家队教练瞿教授告诉记者：“集训队为期两周，在此期间会有6天的考试，内容涉及方方面面。由于国际奥林匹克大赛是针对高中生的比赛，很多知识点是作为初中生的高继扬从未接触的，所以他当时未能如愿进入国家队比赛，但可以看出，他在数学方面的天赋是非常高的。” 果不其然，仅过了一年，高继扬就用一枚含金量超高的金牌再次证明了自己。 在“刷题”中爱上数学 “我特别喜欢数学。”他坐在椅子上平静地说。 初见高继扬，没有想象中“数学男”一言不语的尴尬情况，却也不是那种热络的对谈。在约定前10分钟到达，回答绝不拖泥带水，偶尔的冷场也不显尴尬，说起该处离地铁和自家的距离，能精确到8-9分钟，绝不会模糊地告诉你大约时间。 说起来，高继扬并不是一下子就对数学有了浓厚的兴趣。他是在不断学习过程中发现数学的魅力，而后一发不可收拾。 “小学的时候，高继扬各科都比较平均，数学也没有特别突出。但到初中之后，他对数学的兴趣就表现得特别明显。”高继扬母亲王女士告诉记者。高继扬自己也说，对数学的喜欢是源于一次次的解题得到的成就感，“这种感觉很难用语言来形容，总之很好。” 有时候，他碰到不会的题目，会思考一周甚至一个月，每天都在思考数学题。“那时候我们做家长的都心疼孩子，告诉他不要再想了，注意身体”，虽说高继扬妈妈心里对孩子学习的勤奋十分欣慰，但言语隐隐透露着担忧。 “和很多从小就是奥数班的天才儿童不同，直到初中，我才慢慢发现自己数学方面的天赋。但也不是像大家想象的那样一下子开窍，我是在自己有兴趣的前提下，被‘训练’出来的。”高继扬说。 这种“训练”到底是什么？答案就是“参加比赛”。 高继扬初中在华育中学就读。这段时期，由于他在数学方面崭露头角，被老师选中参加诸如“华罗庚杯”、“新知杯”、“东南杯”等各类比赛。 能参加比赛的学生，数学方面一般比较优秀，同他们一起讨论问题，探讨数学的过程，就是一个知识再构建的过程。在参加比赛之前，高继扬也会根据老师针对比赛提供的题库挑选题目巩固知识，就是俗称的“刷题”。这个听上去特别简单的方法却是高继扬学习的主要方法，只是与大家想象的简单大量做题有些许不同罢了。 保证每天两小时以上高效数学学习 提起高继扬，教练顾老师这样评价他：有着极高的数学天赋和谦虚谨慎的数学态度。这样的评价对一位高一学生来说，无疑非常高。想必要得到老师如此高的肯定，背后的付出一定不能少。 但出乎意料的是，与记者想象中每天四五个小时以上的高强度数学学习不同，高同学每天花在数学上的时间是两个小时。——“但这些时间内的学习一定是非常高效的。” “我们学校晚自习是两个小时左右，我基本上每天的晚自习都是在看数学。”高继扬告诉记者，其他作业在课间和中午完成。 这两个小时的分配也会随着不同时间节点而变动。 一般来说，在考试和比赛之前，他大部分时间都会用在做题上。数学不同于其他科目，仅仅理解学会是不够的，还需要不断的练习才能减少错误。“有时候比赛之前我会花一整个晚自习的时间做题目，时间不够就会在课间挤时间，尽量不熬夜，保持精力。” 平常，他会花费一半时间看课外的科普读物，有时候也会自己找一些习题做。 在这些书中，他最欣赏的就是《数学天书中的证明》，“这是一本关于35个著名数学问题的证明，和一般每道题只有一个答案不同，这本书对其中的数学问题都采用了多种解法。”就比如书中关于素数无限的证明，其中不仅有欧式的证明，还有范思腾伯格运用拓扑作出的证明，仔细推敲后，发现这个方式其实是欧氏证明的变体。“这些不同的证明对我的数学素养、还有拓宽我的思维起到了很大的帮助。”高继扬的读后感如此简洁。 除了数学素养类的书，高继扬还会自己找一些习题类的数学书看。比如《精编》，看这些习题，也是知识再积累及检测自己数学能力的过程。 数学学习的必要方法 高继扬告诉记者，除了兴趣和良好的习惯之外，学习数学必要的预习、刷题和巩固非常重要。身为奥数冠军的他，如何进行这些必要的学习？其中有哪些小窍门？ ·预习 对不参加竞赛跟着老师节奏学习的学生来说，课前预习很重要。在上课前一天晚上就要对知识点进行预习，不过这种预习不需要特别详尽，稍微看一下知识点，挑两道课后的题目做，这样，老师第二天的上课就是对你预习内容疑难之处的解惑。 参加竞赛学生基本就没有正常数学课预习这回事了，一般高中的知识点在高一就能学完，之后就是对一些大学知识、还有高中知识点运用部分。 ·刷题练习，熟能生巧 不论是竞赛还是非竞赛学生，练习都很重要。要在做题的过程中，学习一些解题方法，知道什么条件要怎么用，怎么做可以得到什么结果，做得多自然就熟能生巧了。 实用刷题小技巧 ·题目本身要有典型性 题目本身一定要具备典型性，这样在解题的时候就能触类旁通，理解同类型的其他题目。 ·题目类型不能同质化 如果你只是一直在刷那些相似原理的题目，作用是微乎其微的。 比如：你一直在做那些平面几何的证明题，在这些题目里，你只选择了关于三角形的部分，这样做再多题目，你也不可能得到很大进步。 ·道题目不能只用一种方法解决 在练习时，可以尝试对一道题目采用几种不同的解题方法，拓宽自己的思路。 ·做题之后的消化很重要 这个时候，不仅需要老师对步骤的引导，还需要你自己去慢慢吸收题目中的巧妙之处。你也可以尝试对自己做过的同类题目进行简单梳理，然后将解题所用的多种方法罗列，选择最简便的方式。 那这些题目从何而来？这就需要老师的推荐和自己平时的积累选择了。 上海中学顾老师告诉记者：“学校的老师们会根据学生的特点，为他们挑选题目。对那些像高继扬这样极个别、特别优秀的学生，老师们会选择一些更具难度和挑战的题目给他。” 以下是高继扬对竞赛类书籍和题集推荐 单壿：《数学竞赛研究教程》 本书作者单壿教授以数论与组合数学研究见长，又是我国著名的“奥林匹克数学”专家，多次担任IMO（国际数学奥林匹克）中国集训队教练，为我国成为IMO活动的强国做出了很大贡献。 全书共50讲，包括数论、代数、几何、组合等方面的问题及解题、命题的讨论。这里的代数，按照中学的习惯，含有数列、函数、多项式、不等式等内容。重点并不在于增添更多的知识，而是鼓励学生运用已有的知识去解题。 《初等数论》 本书是大学初等数论课教材。 全书共分九章，内容包括：整除、不定方程、同余、同余方程、指数与原根、连分数、素数分布的初等结果、数论函数等。书中配有较多的习题，书末附有提示与解答。本书积累了作者数十年教学与科研的经验，遵循少而精的原则，精心选材。为便于学生理想，对重点内容多侧面分析，从不同角度进行阐述。 数学奥林匹克命题人讲座系列 这是一部套书，全书共12册，由“奥林匹克数学”专家单墫教授主编。包括《代数不等式》、《数列与数学归纳法》、《集合与对应》、《组合几何》等等，均由著名数学专家所著。 《走向IMO：数学奥林匹克试题集锦》 以国家集训队的测试选拔题为主体，并包括同年国内主要的数学竞赛及往年国际数学奥林匹克试题和解答。 其中的试题大多由从事数学奥林匹克教学和研究的专家们的精心创作，部分解答源自国家集训队和国家队队员。 范建熊：《不等式的秘密》 全书分为两卷，第一卷主要介绍了常用的不等式，如AM—GM不等式、Cauchy-Schwarz不等式、Holder不等式等，并给出了这些不等式新颖、有趣的证明，并通过大量的例子介绍了初等不等式的证明方法和技巧。作者还收集了近百个国内不等式的典型问题，内容丰富、解答新颖，富有启发性。 第二卷中，你可以找到证明不等式的现代方法：整合变量法、乎方分析法、反证法、归纳法和经典不等式的使用方法，这些方法不仅能提升解决不等式的能力，而且还可以减少问题的复杂性并给出漂亮的证明。 除了竞赛类书籍之外，高继扬还推荐了马丁·加德纳的一系列关于数学游戏的书籍。 《趣题大师》系列 包括《趣题大师的思维拓展》、《趣题大师的智力游戏》、《趣题大师的才智挑战》、《趣题大师的头脑体操》等。 科学美国人趣味数学集锦：《悖论与谬误》 想象你有三只箱子：一只装有两块黑色大理石、一只装有两块白色大理石、第三只箱子则装有一块黑色和一块白色大理石。 箱子上贴有标签：黑黑、白白、黑白。可是有人动了标签，现在每只箱子上的标签全错了。你每次只能从任意一只箱子里取出一块大理石，不能往里面看，并通过这个过程来确定出所有三只箱子里的大理石颜色。最少要取多少次才能办到？ 《悖论与谬误》一书为我们讲解的就是此类趣味数学知识，主要供青少年阅读。 一鸣名师工作室简介： 一鸣名师工作室由上海在职名师组成的，为学生提供一站式小升初咨询和初中名师辅导班。精品小班以及专业的小升初以及中考升学建议，为每一位在读学生家长提供了专业的升学指导。2016年我们辅导的学生考入上海知名重点学校的学生近百人，成功使学生进入了理想的中学。
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托尔斯泰有名句“幸福的家庭都是相似的，不幸的家庭各有各的不幸”，一句话写尽世间的悲欢喜乐。生活诚然如此，充满苦难、悲伤，抑或苦闷、无聊，从来都没有永恒的幸福，而只有对幸福的永恒追求。从明天起，劈柴、喂马、周游世界，这是多美的梦，但醒来时，眼前有的，可能只是日复一日的辛劳。重复的旋律或许早已听厌，内心的声音混进世间喧嚣变得模糊不清。究竟是什么时候，幸福变成一个不敢轻易提及的词语？也许，是时候，听一听托尔斯泰带给我们的关于幸福的思考与箴言。 希望茫茫宇宙中每个小小的“我”，都有勇气、有运气，从今天起，2016年的第一天起，做一个幸福的人。
一 懂得生活 为了好好度过一生，必须明白，生活是什么以及在这一生之中应当做什么、不应当做什么。历代贤哲都曾教给人们这些道理，在所有民族中都有人教导如何过善的生活。这些哲人的教导在根本上都归结为一种。这种适于所有人的唯一教导就是，人的生活是什么和应当怎样度过一生，而这也就是真正的信仰。 人只有做他认为符合生活法则的事，才真正懂得生活的法则。 人们的生活往往有好有坏，这仅仅取决于他们怎样去理解生活的真正法则。人们对生活的真正法则理解得越明确，他们的生活就越好，而他们对这个法则理解得越含混，他们的生活就越坏。 二 学习去爱 爱所有的人看起来是件难事。但在你没有学会做事的时候，每一件事看起来都是困难的。所有的事人都在学：缝纫， 纺织，耕地，收割，锻造，读书，写字。同样的，也应该学习怎样去爱所有的人。 学会这一点并不难，因为人类彼此间的爱已被植入我们的灵魂之中。 所有人的生存并不有赖于他们的自我谋划，而有赖于彼此间存在着爱。 每个人的生活都是为了逐年、逐月、逐日地好上加好。人的日子变得越好，他们互相之间就结合得越紧密。而人们结合得越紧密，他们的日子就越好。 如果你明白，生活中最重要的事就是爱，那么当你遇到一个人的时候，你想的就不会是这个人可能对你有什么好处，而是你怎么样才能给这个人以好处。只有这样，比起你只关心自己的时候来说，你将会在所有方面获得更大的成就。
三 付出努力 你说：“不值得做什么努力：无论你怎样努力，都无法达到完善。”但是要知道，你的使命不在于达到完善，而只在于越来越近地走向完善。 把获得拯救和幸福的希望寄托在并非个人努力的某种东西上——没有比这更使人意志松懈的了。 如果你看到社会制度是坏的，你又想改造它，那么你得知道，为此只有一种办法，即让所有人都做得更好。而为了让所有人都做得好，你力所能及的只有一点：自己做好。 不要指望你为向善而做的努力会迅速获得成功，也许你永远也看不到这种成功。你将看不到自己努力的成果，因为，你所趋向的完善，在你移动的同时，它也移动了同样的距离。意念的努力——不是获得幸福的手段，意念的努力本身就赋予你幸福。
四 把握现在 时间是没有的，有的只是瞬间。而我们的全部生活就在于此，在这瞬间之中。 因此，在这绝无仅有的瞬间之中，我们应当全力以赴。 我们常说时光流逝。这并不对。流逝的不是时光，而是我们。当我们在河上乘船的时候，我们感觉到，是河岸，而不是我们所坐的船在走。时光也是如此。 不考虑明天是对的；但为了不去考虑明天，只有一个办法：就是每时每刻都提醒自己，我是否完成了此日、此时、此刻应做的事。 你感觉不好——于是你以为，这是因为你没能按你所希望的那样生活，假如你的生活换一种方式，你也许会很轻松地完成你认为应当做的事。这种想法是错误的。你拥有一切你所希望的东西。在生命中的每一刻，你都能做成你本来就能做成的最完美的事。 五 锻造思想 假如人失去了思想的能力，他就无法理解他为什么生活。而假如他不理解为什么生活，他也就无法知道，什么是好什么是坏。因此，对于人来说，没有什么比能够好好地思想更可贵的了。 我们的生活是好还是坏，都取决于我们的思想如何。而思想是可以调整的。因此，要想生活得好，人就需要改造自己的思想，避免沉迷于坏的思想而不能自拔。 当你回首往事的时候，如果发现你的生活变得更好更善了，更多地摆脱了罪孽、邪念和迷信，那么要知道，这些成就只能归功于你自己思想的努力。 中国的哲人孔子在谈到思想的意义时是这样说的： “真正的学说教给人们最高的善——使人洗心革面，并达到至善的境界。为了获得至高无上的幸福，需要使全体人民得到妥善安置。为了妥善安置全体人民，需要使家庭得到妥善安置。为了妥善安置家庭，需要使自己得到妥善安置。为了妥善安置自己，需要端正自己的心。为了端正自己的心，需要鲜明而真诚的思想。”
六 直视苦难 正如只有夜幕才能显示出天上的星辰，只有苦难才能显示出生活的真正意义。 在人们看不到人生的意义，为苦难而愤怒的时候，他们仍然要活下去，这原因就是，他们脑子里相信生活是肉体的，而在灵魂深处却知道，生活是灵魂的，任何苦难都不能剥夺人的真正的幸福。 每个人都背负着自己的十字架，这并不意味着他肩负着重担，而是意味着他肩负着人生的使命，如果我们不是把这个十字架视为沉重的负担，而是视为人生的使命，则我们背负着它就会轻松自如；当我们的心灵温顺、谦恭、平和的时候，我们背负着它就是轻松的。 要记住，你所说的不幸之所以派给你，是为了使你接受考验，为了使你学会谦恭而满怀爱心地忍受不幸，为了使你仰赖这不幸而生活得更美好。而你生活的任务，正是为了使生活变得更美好。 七 感受幸福 人是不幸的，因为他不知道他是幸福的。 一个哲人说过：我为了寻求幸福，走遍了整个大地。我夜以继日不知疲倦地寻找这幸福。有一次，当我已完全丧失了找到它的希望时，我内心的一个声音对我说：这种幸福就在你自身。我听从了这个声音，于是找到了真正的、始终不渝的幸福。 人弄坏了自己的胃，总是抱怨伙食。那对生活不满的人也是如此。 如果你把不为你所掌握的东西视为幸福，你就将永远不幸。要明白，幸福只存在于为你所掌握的事物之中，你的幸福是任何人也无法从你身上夺走的。 生活，无论是什么样的，都是一种至高无上的幸福，如果我们说生活就是苦难，这只是与想象中的另一种更好的生活相比较而言，然而其实我们并不知道还有什么别的更好的生活，也不可能知道，因此，无论生活是什么样的，它都是我们所能获得的至高之福。 |
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