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作者 | 熊大 咱们长话短说，这是一个非常简单而有趣的数据。该数据来自于某个年度，样本量为2029。其中，每一个样本代表一个共同基金。关于该基金，数据收集了以下指标。首先是风险调整后的收益率。怎么个风险调整法，熊大也不知道，但是简单滴说，这个收益应该是越高越好。这是我们关注的因变量。接下来，数据采集了几个有趣的解释性变量，都是关于该基金的负责经理的。当时的作者尝试通过这些指标去理解：什么样的基金经理最会赚钱。是男性还是女性？是MBA还是非MBA？是经验丰富的还是小青椒？这是我们关心的问题。 为此，熊大作了一个漂亮的直方图，首先研究一下性别因素。简单滴说，我们希望对比男性基金经理 vs. 女性基金经理。有人认为男性基金经理可能投资策略更加激进，因此风险更大，表现更差。当然，也有人认为，金融投资风险同受益成正比，男性基金经理投资基金，风险相对较大，但是带来的收益也应该更好。但是，在这个数据集合中，到底是怎样的？为此熊大作了一个漂亮的直方图，如下图所示。大家看，男性基金经理的表现，是否非常明显地要比女性差不少。当然，我们不敢说这是一个放之四海而皆准的结论。但是，至少对这个数据集合而言，似乎对比强烈。 同样的方法，我们可以研究一下MBA学位的重要性。有的基金经理，从基层开始，摸爬滚打，最后成为一个基金经理，而没有MBA学位。但是，也有的基金经理，接受过正规的商学院教育，因此拥有MBA学位。请问：他们的MBA教育背景的差异，是否最终影响到了他们的投资业绩表现？从下图看，答案似乎是肯定的。读过MBA学位的基金经理的表现明显滴比非MBA基金经理的表现要好。这个发现让熊大非常开心，这似乎证明MBA教育，之于投资，是非常有帮助的嘛。 为此，熊大觉得备受鼓舞，决心继续研究下一个问题：基金经理的从业年限（也就是经验）是否同基金的表现相关呢？为此，根据基金经理不同的从业年限分组，并作直方图如下。 艾玛，这张图就有点奇葩了。大家看到什么奇葩现象没？这张图里哪一组的平均收益率最高？表现最优异？不是经验最丰富的（从业年限＝8年）的基金经理。而是从业经验比较欠缺的。尤其是从业1年的这些基金经理，他们的表现最好，风险调整后的收益率为：3.26%。这是怎么回事？难不成这说明基金经理的经验不值钱？以后应该用新人，尤其是入行1年的新人作基金经理，并且在下一年把他们解聘。怎么样？这个主意不错吧？ 我相信大家都不会认同熊大的主意，这个馊主意显然不合情理。但是问题出在哪里？我想这里有无穷多种可能。但是，按照批判性数据思维的基本理论框架去检讨，我们很容易会聚焦在一个问题上，那就是：样本量！于是乎又有了下面这个直方图，非常漂亮，跟正态分布好像。我们发现绝大多数基金经理的从业年限是4-5年左右。真正经验非常丰富的（例如：大于7年的），并不多。另外，新入行的基金经理，非常少。具体到从业1年的基金经理们（也就是基金业绩表现最好的那一组），他们的样本量才15个！对，15个，15个，15个！重要的事情说三遍。大家看，这个样本量是不是也太少了点？ 好吧，大家都认为这一组的样本量太小了，以至于没有任何信度。但是，反过来说，您说样本量要多大才算大？有一个简单的标准，或者方法论帮助大家回答这个困惑吗？答案是肯定的。这就是我们今天要跟大家分享的，一个统计学中极其重要的概念，就是：标准误差（Standard Error, SE）。说白了，从业1的基金经理形成了一个样本组，该组的样本量是15。然后，基于这15个样本，人们计算了他们的样本均值：。假设资本市场上，所有从业1年的基金经理看作一个整体的话，那么是对这个整体的平均收益率的一个样本估计。假设这个总体的平均收益率是mu，那么是对mu的一个无偏估计。这说明，作为一个估计量，它不会系统性滴高估，或者低估mu。这是一个大好事。所以，请大家热烈鼓掌！ 但是，有了无偏性就可以了吗？当然不可以。无偏性保证了样本均值不会系统性滴高估或者低估总体均值mu。但是，这并不代表样本均值对总体均值的估计就很准确了。为什么？因为样本均值围绕着总体均值，还有随机波动。显然，如果这个波动程度很小，那么样本均值，之于总体均值，就是一个非常准确的估计量。否则，就不是。由此可见，估计精度基本上是被样本均值的波动程度所确定的。那么，接下来的一个自然问题是：样本均值的波动程度可以测量吗？ 关于这个问题，答案是清晰肯定的。我们可以用样本均值的标准差（即：方差开根号）来测量。简单滴说，考虑一个统计量（例如：样本均值），如果它的SE非常小，那么这个统计量，之于参数估计，是比较准确的。相反，如果它的SE非常大，那么这个统计量，之于参数估计，是没有用处的。回到咱们今天的基金经理这个案例，我们会发现，从业年限1年的这一组，它们的样本量太小了（n=15）。因此，既有可能相关的SE（即：估计误差）会非常大。但是，他们的SE到底又多大？这个是不清楚的。为此，我们需要一套完整优美的数学理论。经过前辈学者的努力工作，获得了一个非常简单而优美的公式如下： 大家看，这个公式是否非常优美？该公式建立了一个统计量估计误差（SE），同总体标准差（SD）以及样本量（n）之间的优美关系。该关系反映了人们两个朴素的理念。 1、样本量越大，估计量越准。 这从上面公式中很容易看出来，因为样本量n出现在了公式分母中。但是，悲催的是，该样本量被开根号了。这说明，每当精度要提高一个量级（即：SE降低为原来的1/10），需要的样本量只能是原来的100倍（不是10倍）！这是一个非常悲催的规律。该规律在统计学数据分析中极其广泛滴存在，大家要有思想准备。 2、同样两个样本，样本量相同，但是来自不同的总体。 那么哪个总体越是趋同（即：SD更小），那么相应的样本均值更加准确。这个好懂吗？例如，一个城市叫上海，每个人的收入不多不少1000元。因此，该城市的平均收入极其趋同（SD＝0）。在这种情况下，即使样本量为n=1，相应的估计量也是精确的（SE＝0）。相反，如果另外一个城市叫北京，每个人的收入都相差巨大。这个时候要想把平均收入说清楚，需要更大的样本量n。
现实生活中，由于绝大多数数据分析都是基于有限样本的，都是基于统计量的，因此都会有估计误差。而SE作为对估计误差的测量表达，无处不在，极其重要！以样本均值为例，在知道SE的情况下，我们可以以样本均值为中心，2倍SE为半径，构造一个置信区间，而这个区间覆盖总体均值mu的概率大概是95%。这也常常被人们称为：区间估计。这就是SE的一个具体应用。 回过头来，我们再用标准误差，区间估计这套方法论去重新检讨我们的共同基金案例。看看在这套方法论的帮助下，我们的世界观是否会发生改变。为此，我把所有经理按照他们从业年限分组，然后根据上式分别计算区间估计如下。 从这张表了可以看到哪些有趣的结论？可能会有很多。熊大看到这么几个要点： 1、无论哪一组，均值（Mean）都严重滴小于SD。这说明什么？这说明这些不同分组之间的均值差异，同基金收益率本身的不确定性相比，是微不足道的。因此，不同分组之间，从平均收益率的角度，应该是木有啥子了不起的区别。 2、以第二组（即：从业1年组）为例。由于样本量n=15太小，因此相应的SE＝2.39%，明显滴大于接下来的几组。后果是，相应的区间估计非常宽大，覆盖了太大范围，因此用处不大。一个具体的后果就是，该区间同其他各个分组的区间估计都有重合。这说明什么？这再次表明，不同分组之间，基金经理的平均收益率差异是不显著的。基于目前的数据，我们说不清楚他们之间，目前被看到的差异，是真的由于经理的差异造成的，还是仅仅随机误差而已。 再次简单总结一下。绝大多数数据分析都涉及到统计量，而且样本容量有限。因此，一定会产生估计误差，而SE是对估计误差最简单常用的测量。极其有用，需要同标准差（SD）小心区分！ |
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