每日一题[260] 透过现象看本质

已知偶函数 满足 ，且当 时， ，则 _______．

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正确答案是 ．

解    已知条件描述了 的两个性质：

① 自变量互为相反数时函数值可以互相推导；

② 自变量差为 时函数值可以互相推导．

于是问题转化成了如何将自变量 转化到已知函数解析式的自变量的取值范围 ．

如图，一个可行的路径为

于是对应的书写为

注一    在本题中 是以 为周期的周期函数，但是这并不是问题的本质．

注二    在观察描述 的性质的方程时需要透过代数现象看本质，如方程

的理解过程为：

方程描述了两个函数值的和为 ，也就是两个函数值关于 对称；

这两个函数值的特征为自变量的和为 ，也就是两个自变量关于 对称；

综合以上两句话，我们得到

当自变量关于 对称时，函数值关于 对称．

翻译为图形语言就是： 的图象关于点 中心对称．

最后给出一道练习题．

已知函数 同时关于点 和直线 对称，且 ，求证： 是以 为周期的函数．

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