1. 基本信号分析计算
 其中Ak代表正弦分量在频率k处的峰值振幅。DC分量的高度为A02，其中A0代表信号中DC分量的振幅。  图1. 信号的双边功率谱 关于功率谱的最新信息，请参考LabVIEW帮助（见文末链接）的功率谱章节。 将双边功率谱转换为单边功率谱大多数真实世界的频率分析仪器只显示频率谱的正极，因为真实世界的信号是以DC为中心对称的。因此无需再显示负极的频率信息。图1显示了分析函数的双边结果，先是图谱的正极，然后是负极。
其中SAA(i)代表双边功率谱，GAA(i)代表单边功率谱，N代表双边功率谱的长度。双边功率谱SAA 的余数为 单边功率谱的非DC值的高度为  等于 
 为正弦分量在频率k处的均方根(rms)。因此，功率谱的单位通常被称为数量平方均方根，其中数量是时域信号的单位。例如，电压波形的单边功率谱单位为伏特均方根的平方。  图2. 图1中信号的单边功率谱
关于功率谱的最新信息，请参考LabVIEW帮助（见文末链接）的功率谱章节。 调整频率精度并绘制图谱图1和图2显示了时域信号的功率和频率。频谱曲线x轴的频率范围和精度取决于采样率以及采集到的点的数量。图2中，频率点或线的数量等于  其中N为所采集时域信号中点的数量。第一条频率线位于0 Hz，即DC。最后一条频率线位于
其中Fs是采样时域信号时的频率。频率线出现的间隔为  也可将频率线称为频率仓或FFT仓，因为您可将FFT看做一系列带宽为
其中 t为采样周期。因此是包含所采集时域信号的时间记录的长度。图1和图2中的信号包含1,024个在1.024 kHz时采样的点，产生的f = 1 Hz，且频率范围为DC至511 Hz。频率轴的计算表明，采样频率决定频谱的频率范围或带宽，且对于一个给定的采样频率，在时域信号记录中的采样点的数量决定精度频率。为了提高给定频率范围的频率精度，可增加相同采样频率下采样点的数量。例如，在1.024 kHz下采集2,048个点，将产生 f = 0.5 Hz，频率范围为0至511.5 Hz。而如果在10.24 kHz下采集1,024个点，则f = 10 Hz，频率范围为0至5.11 kHz。使用FFT计算功率谱将功率显示为每条频率线上的均方振幅，但不包括相位信息。由于功率谱丢失了相位信息，您需要使用FFT查看信号的频率和相位信息。
其中，反正切函数返回的相位值在 -
转换为振幅(r)和相位(?)，与使用之前的公式等价。 其中i是A的FFT的频率线数（数组索引）。
振幅谱和功率谱关系密切。将单边方均根振幅谱平方，便可得到单边功率谱。反之，将功率谱开平方，便可得到振幅谱。双边功率谱实际上是通过以下FFT计算得出的。
其中FFT*(A)表示FFT(A)的复共轭。舍弃FFT(A)的虚部，便可得到复共轭。 关于使用FFT进行计算的最新信息，请参考LabVIEW帮助（见文末链接）的计算幅度谱和相位谱章节。 转换为对数单位通常，振幅或功率谱以对数单位分贝(dB)的形式显示。该测量单位有助于查看宽动态范围，即可在存在较大信号分量时方便地查看小信号分量。分贝是比例单位，其计算方式如下。
其中P是测量功率，Pr是参考功率。
其中A是测量振幅，Ar是参考振幅。 关于转换为对数单位的最新信息，请参考LabVIEW帮助（见文末链接）的转换为对数单位章节。 2. 基于FFT的信号分析采用的抗混叠和采集前端方法
图3. 正确及不正确的信号采样
的分量表现出的频率为Fs - f0。 图4. 以100 Hz的频率采样大于等于50 Hz的频率分量时产生的混叠频率
图5. PCI-4450系列输入与频率的带宽，归一化为采样率 采集前端的限制除了减少大于等于采集频率一半的频率分量，您使用的采集前端还会在采集频率一半以下引入某些带宽限制。为了将大于等于采样率一半的信号减少至测量范围以下，抗混叠滤波器将在采样率一半以下的某点开始降低频率。因为这些滤波器降低了频谱最高频率的部分，特别是当您需要将图表限制到对测量有效的带宽时。 计算给定采样频率的测量带宽或线数动态信号采集板卡在数字化过程中内置了抗混叠滤波器。此外，截止滤波器频率随采样率缩放，以符合图5所示的奈奎特准则。这些板卡上抗混叠滤波器的快速截止表明，在1,024点的基于FFT的频谱中，有用的频率线为475线，其振幅平整性为±0.1 dB。 动态范围规范PCI-4450系列板卡的信噪比(SNR)为93 dB。SNR的定义为
其中Vs和Vn分别是信号和噪音的rms振幅。通常会为SNR指定带宽。这里，带宽指的是板卡输入的频率范围，与图5所示的采样率有关。96 dB的SNR意味着您可以检测到小至板卡全量程范围以下93 dB的频率分量。这是因为由采集前端引起的总输入噪音水平为板卡全量程输入范围以下的93 dB。 图6. PCI-4450系列频谱图，输入信号997 Hz，全量程（全量程 = 0 dB） 3. 正确使用窗口简介部分提到，基于FFT的测量关键在于正确使用窗口。本章将介绍频谱泄漏、窗口的作用、选择窗口的策略以及缩放窗口的重要性。 频谱泄漏对于精确频谱测量，使用合适的信号采集技术无法获得合理缩放的单边谱。您可能会遇到频谱泄漏。频谱泄漏是由FFT算法中的一个假设导致的，即持续精确地重复时间记录，且时间记录中包含的信号在对应时间记录长度的间隔内呈周期性。若时间记录的周期数为非整数， 便违反该假设，导致频谱泄漏。另一种看法是，信号的非整数周期频率分量未与频谱频率线之一精确吻合。 您仅可在两种情况下保证获得整数周期。第一种情况是，您对测量的信号进行同步采样，因此可按需获取整数周期。 另一种情况是，您捕获的瞬时信号可完全融入时间记录。但是，多数情况下，您测量的未知信号是平稳的，即该信号在采集前、中、后都存在。这时，您就无法保证采样的是整数周期。频谱泄漏对测量造成干扰，来自给定频率分量的能量将分散至相邻的频率线或仓。您可使用窗口，将在非整数周期内进行FFT产生的效果最小化。 图7显示了3种不同窗口的效果 -- 无（均匀）、Hanning（也称为Hann）和Flat Top -- 图中采集的周期是整数，256周期，1,024点记录。注意，关注频率周围的窗口有一个主瓣。该主瓣是窗口的频域特征。均匀窗口的瓣最低，而Hann和Flat Top窗口引入了一些散布。Flat Top窗口的主瓣最宽。对于整数周期，所有窗口都产生同样的峰值振幅读数，且振幅精确度优良。 图7还显示了每种窗口在254 Hz至258 Hz频率线处对应的值。每种窗口在256 Hz时的幅值误差为0 dB。图表显示的频谱值为240至272 Hz。每种窗口（254至258 Hz时）在结果频谱数组中的实际值显示在图表下方。 f等于1 Hz。图7. 1 Vrms信号在256 Hz时的功率谱，分别使用均匀、Hann和Flat Top窗口 图8显示了采集256.5周期时的泄漏效果。注意，非整数周期时，Hann和Flat Top窗口引入的频谱泄漏远小于均匀窗口。另外，Hann和Flat Top窗口的幅值误差也更小。Flat Top窗口展示了很好的幅值精确度，但其散布和旁瓣比Hann窗口更高。 图8. 1 Vrms信号在256.5 Hz时的功率谱，分别使用均匀、Hann和Flat Top窗口 除了造成幅值精确度误差外，频谱泄漏还会模糊临近频率峰值。图9显示两个接近的频率分量在未使用窗口和使用Hann窗口时的频谱图。 图9. 频谱泄漏模糊临近的频率分量 关于频谱泄漏的最新信息，请参考LabVIEW帮助（见文末链接）的频谱泄漏和加窗信号章节。 窗口特征为了理解特定窗口如何影响频谱，您需要了解更多关于窗口频率特征的信息。输入数据的加窗等同于用窗口的频谱对原始信号进行卷积，如图10所示。即使您没有使用窗口，信号也会通过均匀高度的矩形窗口进行卷积，这是在输入信号的时间内拍摄快照的本质。该卷积拥有一个正弦函数特性频谱。因此，不使用窗口通常被称为均匀或矩形窗口，因为仍存在窗口效果。 窗口的实际图表显示，窗口的频率特征是一个连续频谱，含有一个主瓣和数个旁瓣。主瓣以时域信号的每个频率分量为中心，旁瓣在主瓣两边接近零，间隔为 图10. 加窗频谱的频率特征 FFT产生离散的频谱。FFT采样的是连续的、周期性的频谱，ADC也是以这种方式采样时域信号的。出现在FFT各条频率线的是在每条FFT频率线的连续卷积频谱的值。有时称之为栅格效应，因为FFT的结果类似于透过栅格查看连续的加窗频谱，栅格的间隔对应于频率线。 若原始信号的频率分量正好符合一条频率线，就像您获得了整数次周期，您将只看到频谱的主瓣。不出现旁瓣，因为窗口的频谱在主瓣两侧接近零，间隔为 f。图7显示的就是这种情况。若时间记录不包含整数个周期，窗口的连续频谱将偏离主瓣中心 f个部分，对应于频率分量和FFT线频率之间的差。该偏移将使旁瓣出现在频谱中。此外，频率峰值处有一些幅值误差，如图8所示。因为主瓣采样时偏离了中心（频谱遭到了污染）。图11显示了更详细的窗口频谱特征。窗口的旁瓣特征直接影响到相邻频率分量影响（泄漏到）相邻频率区间的程度。一个强正弦信号的旁瓣响应可能超过附近的一个弱正弦信号的主瓣响应。 图11. 窗口的频率响应
关于窗口特性的最新信息，请参考LabVIEW帮助（见文末链接）的加窗信号和不同平滑窗口的特性章节。 定义窗口特征为了简化选择窗口的过程，您需要定义一系列特征，以便比较不同的窗口。图11显示了典型窗口的频谱。为了描述主瓣形状的特征，我们定义了-3 dB和-6 dB作为主瓣（在FFT区间或频率线中）的宽度，其中窗口响应分别变成主瓣峰值增益的0.707 (-3 dB)和0.5 (-6 dB)。 表1. 窗口函数的特征
关于窗口特征的最新信息，请参考LabVIEW帮助（见文末链接）的不同平滑窗口的特征章节。 选择窗口的策略每种窗口有其自身特性，不同的窗口用于不同的应用。选择频谱窗口时，必须估计信号频率内容。若信号包含离关注频率很远的强干扰频率分量，请选择高旁瓣下降率的窗口。若在关注频率附近存在强干扰信号，请选择最大旁瓣水平较低的窗口。 若关注频率包含两个或以上互相非常接近的信号，频谱精度就变得重要。这时，最好选择主瓣非常狭窄的窗口。若特定频率区间中，单个频率分量的幅值精度比该分量的精确位置更重要，请选择主瓣较宽的窗口。若信号频谱的频率内容较为平坦或宽带，请使用均匀窗口（即无窗口）。通常来说，Hann窗口能满足95%的情况。它拥有良好的频率精度，并能减少频谱泄漏。 Flat Top窗口的幅值精确度良好，但由于主瓣较宽，其频率精度较差，且频谱泄漏较多。Flat Top窗口的最大旁瓣水平低于Hann窗口，但Hann窗口的下降率较大。若您不了解信号内容，但需要采用窗口，请首先使用Hann窗口。图7和图8对比了均匀、Hann和Flat Top窗口的不同特性。 若您分析的是瞬时信号，如冲击和响应信号，最好避免使用频谱窗口，因为这些窗口会在采样信号块开始时减弱重要信息。请使用Force和指数窗口。Force窗用于分析冲击模拟，因为它能去除信号末端的散杂信号。指数窗用于分析瞬时响应信号，因为它将减弱信号末端，以确保在采样信号块末端达到充分衰减。 选择窗口函数并不简单。事实上，并没有通用的办法。但是，表2能帮助您进行初步的选择。请比较不同窗口函数的性能，找到最适合应用的一个。关于窗口的更多信息，请参考本应用笔记结尾处的参考资料。 表2.根据信号内容，初步选择窗口
使用FFT进行频谱分析时，窗口可有效降低频谱泄漏。但是，由于叠加了采集的时域信号，窗口本身也带来了失真效应。窗口改变了信号的总幅值。产生图7和图8中曲线的窗口经过了缩放，方法是将加窗数组除以窗口的相干增益。结果是，每个窗口在其精度限制内产生了相同的频谱幅值结果。 您可以将FFT看做一系列并行滤波器，每个带宽为 f。由于窗口的分散效应，每个窗口会增加FFT的有效带宽，该增量又称为窗口的等效噪声-功率带宽。特定频率峰值的功率计算方法是，累加峰值两侧的相邻频率区间，并通过窗口的带宽放大。当您根据频谱进行计算时，必须考虑到这种放大效果。关于范例计算，请参考“与频谱相关的计算”章节。表3列出了偏离中心的分量在多种常见窗口中造成的缩放因子（或相干增益）、噪声功率带宽以及最差峰值精确度。 表3.窗口的修正因子和最差幅值误差
关于窗口特性的最新信息，请参考LabVIEW帮助（见文末链接）的不同平滑窗口的特征章节。 4. 与频谱相关的计算当您拥有振幅或功率谱，就可以计算多种输入信号的有用特征，如功率和频率、噪声水平及功率谱密度。 估算功率和频率之前的加窗范例显示，若在两条频率线间存在频率分量，该分量将显示为散布在相邻频率线间的能量，振幅降低。实际峰值位于两条频率线之间。图8中，256.5 Hz处的振幅误差产生的原因是，窗口是在其主瓣周围±0.5 Hz处采样的，若是在中心采样，振幅误差将为0。这就是本应用笔记的“窗口特征”章节解释的栅格效应。 您可估算离散频率分量的实际频率，精度大于FFT规定的 f。方法是在功率谱中对波峰周围的频率进行权重平均计算。
其中j是关注频率的显波峰的数组索引，且
区间j ±3是合理的，因为它代表了比窗口主瓣更宽的散布，如表3中所示。 类似地，您可估算特定峰值离散频率分量的功率（以Vrms2为单位），方法是累加峰值附近区间中的频率（计算峰值以下的区域）
注意，该方法仅对由离散频率分量组成的频谱有效，而对连续频谱无效。另外，若6条线中含有两个或以上频率峰值，将使估算的功率变大，并歪曲实际频率。可减少先前计算散布的线的数量，以弱化该效应的影响。若两个峰值如此接近，它们很可能已经因为频谱泄漏而互相干扰了。 关于估算功率和频率的最新信息，请参考LabVIEW帮助（见文末链接）的与频谱相关的计算章节。 计算噪声水平和功率谱密度噪声水平的测量依赖于测量的带宽。查看功率谱的本底噪声时，就是在查看每个FFT区间的窄带噪声水平。因此，给定功率谱的本底噪声取决于频谱的
单位为：
振幅谱密度的计算方法如下：
单位为：
频谱密度格式适用于随机或噪声信号，但不适用于离散频率分量，因为后者理论上带宽为0。 关于计算噪声水平和功率谱密度的最新信息，请参考LabVIEW帮助（见文末链接）的与频谱相关的计算章节。 5. 基于FFT的网络测量当您了解如何处理FFT和功率谱计算，以及窗口对频谱的影响，您就可以计算多种基于FFT的函数，它们对网络分析非常有效。包括频率响应、脉冲响应和相干函数。关于上述函数的更多信息，请参考本应用笔记的“频率响应和网络分析”章节。关于Chirp信号和宽带噪声信号的更多信息，请参考“用于频率响应测量的信号源”章节。 单边互功率谱另一个构建模块是单边互功率谱。单边互功率谱通常不用于直接测量，而是作为其他测量的重要构建。 两个时域信号A和B的双边互功率谱计算方法如下：
单边互功率谱采取双边复数形式。为了转换为幅度和相位，可使用“极坐标至直角坐标转换”函数。为了转换为单边形式，可使用本应用笔记“将双边功率谱转换为单边功率谱”章节中的方法。单边形式的单位为伏特（或其他单位）rms平方。 关于单边互功率谱的最新信息，请参考LabVIEW帮助（见文末链接）的单边互功率谱章节。 频率响应和网络分析三种用于描述网络频率响应特性的函数是：频率响应、脉冲响应和相干函数。 图12. 网络分析的配置 关于网络频率响应的最新信息，请参考LabVIEW帮助（见文末链接）的频率响应和网络分析章节。 频率响应函数频率响应函数(FRF)给出了网络对于频率的增益和相位，通常计算方法如下：
其中A是激励信号，B是响应信号。 关于频率响应函数的最新信息，请参考LabVIEW帮助（见文末链接）的频率响应和网络分析章节。 脉冲响应函数网络的脉冲响应函数是该网络频率响应函数的时域表现。它是在时间t = 0时对输入应用的脉冲产生的输出时域信号。
结果为时域函数。为了求得多个读数的平均值，可采用平均频率响应函数的反FFT。 关于脉冲响应函数的最新信息，请参考LabVIEW帮助（见文末链接）的频率响应和网络分析章节。 相干函数相干函数通常和频率响应函数一起使用，以显示频率响应函数测量的质量，并显示有多少响应能量与激励能量相关联。若响应中存在另一个信号，不论是来自过度噪声或其他信号，该网络响应测量的质量都较差。您可使用相干函数确定过度噪声及因果关系，即哪些信号源影响了响应信号。相干信号的计算方法如下：
结果是相对频率的一个0到1之间的值。给定频率线的结果为0，表示响应和激励信号间无因果关系。给定频率线的结果为1，表示响应能量100%是由激励信号造成的， 即该频率无干扰。 关于相干函数的最新信息，请参考LabVIEW帮助（见文末链接）的频率响应和网络分析章节。 频率响应测量的信号源为了获得良好的频率响应测量结果，关注的频率范围内必须存在明显的激励信号。两种常用信号包括chirp信号和宽带噪声信号。Chirp信号是从开始频率扫向截止频率的正弦信号，因此在给定频率范围内产生能量。白噪声及伪随机噪声拥有平坦的宽带频率谱，即能量存在于所有频率。 6. 总结分析和测量来自插入式DAQ设备的信号时，需要考虑多种因素。用户很容易在频谱测量上犯错误。用户需要理解基于FFT的测量涉及的基本运算、知道如何抗混叠、学习合理缩放和转换为不同单位、选择使用正确的窗口，并学习如何使用基于FFT的函数进行网络测量，这些对于完成分析和测量任务十分重要。学习了这些知识，并使用本应用笔记中介绍的工具，可助您在自己的应用中取得成功。 |
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，约等于4.2426 V。通过基本FFT函数计算得出功率谱。关于该方程的实例，请参考本应用笔记的使用FFT计算章节。
