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玉米竭力用轻松具体的描述来讲述双目三维重建中的一些数学问题。希望这样的方式让大家以一个轻松的心态阅读玉米的《计算机视觉学习笔记》双目视觉数学架构系列博客。这个系列博客旨在捋顺一下已标定的双目视觉中的数学主线。数学推导是有着几分枯燥的，但奇妙的计算机视觉世界是建立在严密的数学架构之上的。所以对数学框架的理解是理解双目视觉的必由之路。不过请大家放心，接下来玉米会以尽量有趣，尽量更接地气儿的方式，阐释一下自己对双目视觉数学或者说是投影几何的理解。
先来张《计算机视觉：算法与应用》中的3D重建示例图镇楼！ 好吧，现在言归正传，来看看几何学上世界是怎样投影进摄相机里的吧！接下来让我们来看一下本系列博客的第一“搏”： 图像坐标：我想和世界坐标谈谈(A) 首先，我先解释一下这个题目吧。题目的字面意义是说：图像坐标系想和世界坐标系谈谈。这里面包含着两个问题： A、谈话对象：视觉系统的三大坐标系：世界坐标系，摄像机坐标系和图像坐标系。这是玉米在本文《我想和世界坐标谈谈 (A)》中想要和大家分享的内容。其中主要包含：三大坐标系的位置、作用和应用场景。 B、谈话方式：两个不同的坐标系之间该如何沟通呢？玉米将在《我想和世界坐标谈谈(B)》中和大家分享一下刚体变换和透视 投影变换。连起两个坐标系之间这不在一个参考系的“世界上最远的距离”。 好吧，下面让我们来揭开三大坐标系的庐山真面目。
上图是三个坐标的示意简图，通过它大家可以对三个坐标有一个直观的认识。下面来看看三个坐标系的骨子里藏了什么。 世界坐标系（XW,YW,ZW）：其是目标物体位置的参考系。除了无穷远，世界坐标可以根据运算方便与否自由放置。在双目视觉中世界坐标系主要有三个用途：1、标定时确定标定物的位置2、作为双目视觉的系统参考系，给出两个摄像机相对世界坐标系的关系，从而求出相机之间的相对关系3、作为重建得到三维坐标的容器，盛放重建后的物体的三维坐标。世界坐标系是将看见中物体纳入运算的第一站。 摄像机坐标系(XC,YC,ZC)：其是摄像机站在自己角度上衡量的物体的坐标系。摄像机坐标系的原点在摄像机的光心上，z轴与摄像机光轴平行。它是与拍摄物体发生联系的桥头堡，世界坐标系下的物体需先经历刚体变化转到摄像机坐标系，然后在和图像坐标系发生关系。它是图像坐标与世界坐标之间发生关系的纽带，沟通了世界上最远的距离。哈哈 图像坐标系(x,y)/(u,v) :其是以摄像机拍摄的二维照片为基准建立的坐标系。用于指定物体在照片中的位置。玉米更倾向将(x,y)称为连续图像坐标或空间图像坐标，将(u,v)称为离散图像坐标系或者是像素图像坐标系（虽然这样的称呼未经考证，但更能传达二者的物理意义）。 (x,y)坐标系的原点位于摄像机光轴与成像平面的焦点O’(u0,v0)上，单位为长度单位(米)。(u,v)坐标系的原点在图片的左上角（其实是存储器的首地址）如上图所示，单位为数量单位(个)。(x,y)主要用于表征物体从摄像机坐标系向图像坐标系的透视投影关系。而(u,v)则是实实在在的，我们能从摄像机中得到的真实信息。 (x,y)与(u,v)存在如下转换关系： dx代表x轴方向一个像素的宽度，dy代表y轴方向上一个像素的宽度。dx、dy为摄像机的内参数。(u0,v0)称为图像平面的主点，也是摄像机的内参数。其实相当于对x轴和y轴的离散化。其可以运用齐次坐标，将上式写成矩阵形式，如下： （1）式运用了齐次坐标，初学者可能会感到有些迷惑。大家会问：怎样将普通坐标转换为齐次坐标呢？齐次坐标能带来什么好处呢？ 玉米在这里对齐次坐标做一个通俗的解释。此处只讲怎么将普通坐标改写为齐次坐标及为什么引入齐次坐标。这里只做一个通俗但不太严谨的表述。力求简单明了。针对齐次坐标的严谨的纯数学推导，可参见“周兴和版的《高等几何》---1.3拓广平面上的齐次坐标”。玉米曾详细读过《高等几何》这本书，但觉得离计算机视觉有点远，是讲纯数学的投影关系的，较为生涩难懂。 齐次坐标可以理解为在原有坐标后面加一个“小尾巴”。将普通坐标转换为齐次坐标，通常就是在增加一个维度，这个维度上的数值为1。如图像坐标系(u,v)转换为(u,v,1)一样。对于无穷远点，小尾巴为0。注意，给零向量增加小尾巴，数学上无意义。 那么，为什么计算机视觉在坐标运算时要加上这个“小尾巴”呢？ 玉米看来有两点原因： 1、 将投影平面扩展到无穷远点。如对消隐点(vanishing point)的描述。 2、 使得计算更加规整 如式（1）如果用普通坐标来表达的话，会是下面的样子： 这样的运算形式会给后与运算带来一定的麻烦，所以齐次坐标是一个更好的选择。 齐次坐标还有一个重要的性质，伸缩不变性。即：设齐次坐标M，则αM=M。 |
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