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数学本艺术，愧于我教学 其实，数学除了函数、向量、数列等等才抽象概念外，真的可以很浪漫，也可以很艺术。 当我们迷茫于那些复杂的方程式时，殊不知它也可以很美，很友爱！ 如上图，这些隐匿于世界之中的“心”意，向我们表达着来自大自然的柔情；这些隐匿于复杂方程式背后的美丽曲线，向我们传递着来自数学的爱意！ 当然，能有如此优美表达形式则归功于伟大的搭桥者——“解析几何之父”笛卡尔（René Descartes，1596~1650）。据说1619年11月10日晚上，笛卡尔连续做了三个印象深刻的梦，按他自己的话说，这些梦改变了他整个生活的方向，也开启了整个数学崭新的篇章，代数与几何从此可以结合起来，那就是解析几何的诞生，因而这天也就成了现代数学的诞生之日。虽然笛卡尔把这个想法公诸于众，还要等上18年。 笛卡尔在给克里斯汀上课 或许这个结合实在是太优美了。以至于数学史上至今还流行着笛卡尔有关“心形曲线”的凄美的爱情故事。1650年，52岁的笛卡尔邂逅了18岁的瑞典公主克里斯汀。不久被国王聘请为做小公主的数学老师。公主的数学在笛卡尔的悉心指导下突飞猛进，他们之间也开始变得亲密起来。笛卡尔向她介绍了他研究的新领域——直角坐标系。在笛卡尔的带领下，克里斯汀走进了奇妙的坐标世界，她对曲线方程着了迷。同时，每天的形影不离也使他们彼此产生了爱慕之心。然而，没过多久，他们的恋情传到了国王的耳朵里。国王大怒，将他放逐回国，公主则被软禁在宫中。回国后，他每天坚持给她写信，盼望着她的回音。然而，这些信都被国王拦截下来，公主一直没有收到他的任何消息。在笛卡尔给克里斯汀寄出第十三封信后，他永远地离开了这个世界。这最后一封信上没有写一句话，只有一个方程：r=a(1-sinθ)。国王看不懂，便把这封信给了她。拿到信的克里斯汀欣喜若狂，她立即明白了恋人的意图，找来纸和笔，着手把方程图形画了出来，一颗心形图案出现在眼前，克里斯汀不禁流下感动的泪水，这条曲线就是著名的“心形线”。 国王去世后，克里斯汀继承王位，登基后，她便立刻派人去法国寻找心上人的下落，收到的却是笛卡尔去世的消息，留下了一个永远的遗憾…… 这个故事显然是虚构的。但人们宁可相信，并乐此不彼，还被引用拍成了百岁山的艺术广告。 不过确实发生的事是笛卡尔搭起了代数几何之间的桥梁，从而开启了数与形之间的天然联系。从此，数学也便有了后天的美感。 除此，你还可能喜欢音乐，因为它那优美而和谐的旋律，那么通过数学，或许我们能找到旋律背后优美而和谐的理由，我们便能从理性的角度欣赏音乐。你可能喜欢绘画，因为它的色彩、它的结构，那么通过数学，或许我们能更好地理解结构背后的美的理由，从而让我们能更理性的分析、欣赏绘画。等等。 下面就让我们通过一些具体而简单的例子，来感受一下数学中的艺术之美，或是艺术中的数学之美。 （一）数学中的艺术 古代哲学家普洛克拉斯就曾宣言：“哪里有数，哪里就有美”； 大数学家克莱因更是说：“音乐能激发或抚慰情怀，绘画使人赏心悦目，诗歌能动人心弦，哲学使人获得智慧，科学可改善物质生活，但数学能给予以上的一切。” 这些都给了数学一个很高的评价。 1.数式之美奇妙无穷 数与式就像数学世界的一个个分子，这些分子和谐地组合起整个数学世界。相信，当见到以下这样的式子时，一定会惊讶于它的形式和构造！不管相不相信，反正它就这样成立了！ （1）(1713+2377+1464)3=171323771464 （2）1663+5003+3333=166500333； （3）102+112+122=132+142=365； （4）782+792+802+812+822+832+842=852+862+872+882+892+902； （5）eπ-π≈19.9990999≈20； “音乐是心灵的算术练习”（莱布尼兹），算式是思维的音乐奏章！或许我们能感受一二。 而要说最早的数字游戏当属幻方了。 “河出图，洛出书”，从此幻方人间数。 在一个由若干个排列整齐的数组成的正方形中，任意一横行、一纵行及对角线的几个数之和都相等，具有这种性质的图表，称为“幻方”。中国古代称为“河图”、“洛书”，又叫“纵横图”。如下图，这是澳门发行的幻方邮票之一。右上方为河图原型，龙马背负“河图”，献给伏羲（图右下），伏羲依此而演成八卦。图中间为神龟，背驮“洛书”，献于大禹（图左上），大禹依此治水成功，遂划天下为九州。幻方就是这样神奇的开始的。 在我国，南宋数学家杨辉最早将幻方作为一个数学问题来研究。他给出了编造三阶幻方的方法：“九子斜排，上下对易，左右相更，四维推出，戴九履一，左三右七，二四为肩，六八为足”，并且他还研究了4～10阶复杂幻方的排法和性质。 幻方因其变幻莫测的性质一直受到各种人的喜爱。中世纪时，欧洲妇女还将它别在胸前，当作护身符的。 下面以三阶为例，如图。 用幻方中的1，3，9，7顺时针构造两位数：97，71，13，39，逆时针构造两位数：31，17，79，93。计算器验算出： 97+71+13+39=31+17+79+93； 972+712+132+392=312+172+792+932； 973+713+133+393=313+173+793+933。 另外，将每列三个数组成一个三位数，由上往下276+951+438=1665，由下往上672+159+834=1665；而且，2762+9512+4382=1172421=6722+1592+8342。每行情况同理。 你还可以自行去发现其他的性质。 幻方的神奇也令不少人为之着迷。1910年美国有个数学爱好者亚当斯就试图去排出一个六边形的幻方。为了排列起来方便，他特制了19块小板，分别写上从1到19的数字。只要一有时间就排，一次又一次的失败，一次又一次的排。他也由一位年轻人排成了白发苍苍的老人，然而他的六角幻方还是没排出来。1957年他终于在病床上将它排出来了，可惜，他竟然弄丢了那张纸。于是，他又开始重新不停的排。这次上天总算没有辜负他，1962年12月，这位老人总算又排出了这个六角幻方，整整52年。最后经过计算机检验（17秒），发现世上六角幻方仅此一个，如图。因此，这个六角幻方也被誉为数学宝库中的“稀世珍宝”。不过，能以52年代价寻找17秒之价，足见数学之美丽。 有关幻方的一般排法研究，其中一个最著名的方法命名来自西蒙德·拉·卢贝尔，17世纪一位法国外交官。他的方法只对行和列数是奇数的幻方有效。方法是：先把1填在一边的中间位置，如图所示，然后沿着对角线(向右上)走，规律是：如果你从上方离开幻方，那么就从下方同样位置进入；如果你从右边离开，那么从左边同样位置进入。按照这个顺序，如果下一个格子是空的，那么依规律填入下一个数字；如果下一个格子已被占据，那么下一个数字就写在前一个数字的下方。依次填完，如图。这是2014年澳门发行的一套幻方系列邮票之一——9澳元。 说起这套邮票，也很有意思。这套邮票共10张，除了一张前面提到的12澳元（河图洛书）。邮票的价值分别为1到9澳元，你会发现邮票也被分为三行，如图。第一行三张分别为4，9和2澳元，第二行3，5，7澳元，第三行是8，1，6澳元。换句话说，9张邮票也被设计成一个幻方，一个“洛书”。有创意的构造吧！其中，4澳元上的正是有名的丢勒幻方，后面我们将具体介绍；2澳元的不是幻方，而是神秘的回文字母排列；3澳元上展示的是富兰克林发现的“破碎对角线”；5澳元同样不是幻方，也很神奇，公元四世纪中国诗人苏蕙是回文诗《璇玑图》；7澳元是英国业余数学家李·萨罗斯发明的“几何幻方”。面值分别为1澳元，6澳元和8澳元的三枚邮票由第二年发行，主题分别是“因德尔·塔内加–IXOHOXI 88”、“麦克林托克/奥利伦肖-最完美”和“戴维·科里森-拼布”。
基于幻方作为古老的数字游戏，1977年美国发射的旅行者1号、2号宇宙飞船上带去两件与数学有关的礼物一个是勾股数，另一件便是一个四阶幻方：耆那四阶幻方，是至今发现最早的一个四阶幻方。
（待续） |
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