《分类有法、回避有方》——数学思想方法在高中数学解题中的应用

陈频老师简介

      陈频老师毕业于华东师范大学数学系，具有扎实的数学功底，是上海市复兴高级中学一名优秀的青年数学教师。在学校“高结构设计、低结构实施”的教学理念的引领下，他的课堂立足基础，注重数学概念的产生和发展过程；在夯实基础的同时，突出一个“变”字，通过“一题多解”、“一题多变”，让学生“注重过程，享受数学”。

      陈频老师于2013年成为虹口区胡军数学名师培养基地学员，2015年成为上海市《高中数学试题与研究》编写组成员，2016年成为虹口区教育系统十三五教师人才梯队“教学能手”。他荣获“2012年虹口区优秀班主任”、“2014年虹口区数学学科教学单项技能评比一等奖”等多项教育教学奖项。他的多篇论文《分类有法、回避有方》、《以形助数、以数解形》等发表于上海市中学生报、虹口教育专刊。

      他所教的高三毕业班，不论是文科班还是理科班，都以年级文理第一的成绩得到了家长和学校师生的肯定。他认为，对于数学发自内心的热爱才是学好数学的关键，他相信“圆规为什么可以画圆？因为脚在走，心不变。”

正文如下

分类有法、回避有方

——数学思想方法在高中数学解题中的应用

       高中数学中的分类讨论不仅形式多样，而且具有很强的综合性和逻辑性，这种思想对于简化研究对象，发展人的思维有着重要的帮助。在高中数学解题时，往往会遇到如下情况：解到某一步之后，问题逐渐复杂，不能再以统一标准、统一的方法、统一的式子继续进行解题，此时所研究的问题包含多种情况，这时需要对研究对象按某个标准分类，然后对每一个分类研究得出每一类的结论，最后综合各类结果得到整个问题的解答，实质上，分类讨论就是“化整为零，各个击破，再积零为整”的数学策略。

     分类讨论思想是以概念的划分，集合的分类为基础的思想方法，对于分类讨论思想要注意以下三个方面。

一、明确引起分类讨论的原因

       根据引起分类的原因确定分类的标准才能有效地解题，原因主要有以下几方面：某些概念、定理、性质、法则、公式等的定义是分类给出的；含参数的函数、方程、不等式等问题，由参数值的“量变”引起结果的“质变”；在研究几何问题时，由于图形的变化，引起问题的结果有多种可能性；排列组合问题的特殊情况等。

二、掌握准确分类讨论的方法

      分类讨论的规则是：分类时首先要明确分类的对象和分类的标准，有时还要对第一次分出的各类进行再分类，这就是第二级分类，类此地还有第三级分类、第四级分类，……，这种进行多次分类的现象叫做连续分类。合理的分类不但是正确解题的基础，而且还是简洁解题的出发点。分类讨论的原则是：不重复、不遗漏，即每一个题设包含的对象都必须在而且只在所分的一类中。为此，分类时必须做到：（1）一次分类只按一个标准进行；（2）连续分类按层次逐级进行。

三、注意分类讨论结论的整合

       分类讨论思想具有明显的逻辑特征，解决此类问题需要有一定的分析能力、逻辑推理能力和分类技巧能力。由于采用分类讨论的方法进行解题时往往要进行“重复性”的劳动，所以在重视分类讨论思想应用的基础上，应该避免看见参数就分类讨论，要注意灵活地运用简化或避免分类讨论的策略，使得分类有法，回避有方。

（一）整体思维，回避讨论

（二）分离参数，回避讨论

（三）数形结合，回避讨论

（四）巧用性质，回避讨论

（五）挖掘信息，回避讨论

（六）正难则反，回避讨论

      思想的形成，方法的掌握，才能使学生终生受益。正确地运用数学思想方法是提高数学能力的必由之路，往往可以使学生运算简捷、推理灵活。分类讨论思想是一种重要的数学思想，在高中数学解题教学中，培养学生分类有法、回避有方，有利于提高学生对数学的学习兴趣，培养学生思维的条理性、科学性，这种优良的思维品质对学生的未来将产生重大的影响。