抛物线弓形面积的探讨

 

我是李文龙，我爱数学，数学使我快乐

今天我们要探讨的是一道初中、高中、大学都可以研究的一个课题

抛物线y=-x2+1与x轴交于A和B，与y轴交于C，则抛物线与x轴围成弓形的面积是（）

初中篇

初中阶段的我们还不会算除了圆以外的曲线形成的面积，只能通过逼近的思想得出一个大致范围

我们先在弓形内部构造出我们可以计算的最大面积的三角形，也就是下图的△ABC

很容易算出△ABC的面积是1，显然弓形的面积比1大

类似的，我们在弓形外部构造出我们可以计算的最小面积的图形，由于AO=BO=CO=1

因此可以考虑以O为圆心，1为半径作半圆，如下图，这样半圆的面积是0.5π≈1.57

于是弓形的面积就介于1到1.57之间，如果是选择题，而且题中给出的选项有且只有一个满足我们所逼近的范围，我们就选它。如果并不是唯一的怎么办？我们还需要进一步的逼近准确值

我们先说在外部逼近

 

只画一个圆显然是把弓形的面积放大了许多，而除了圆我们只能计算线段围成的面积，还要贴近于抛物线，因此我们考虑作抛物线的切线

如下图，我们作与AC平行切和抛物线相切的直线DE。设DE：y=x+b，与抛物线联立，令判别式△=0，可以解出b=1.25

这样就可以算出△DEF的面积约为1.5625

如此以来我们就可以进一步的算出弓形面积介于1和1.5625之间。比起做圆来似乎并没有精进很多……

 

 

究其原因是：与抛物线相切的直线有无数条，凭什么选择与AC平行的直线来做，如果只是因为这样好算，这个理由显然不能征服小伙伴。接下来我们进入高中篇

高中篇

与y=-x2+1相切的直线交坐标轴于D和E，求△DOE面积最小值时的直线解析式

我们假设直线DE为y=kx+b（k≠0），因为相切，与抛物线y=-x2+1联立可得x2+kx+b-1=0，令△=0，得4b=k2+4，这样我们就求出k和b的关系了

 

然后表示出△DOE的面积

将b替换掉，可列出一个关于k的一元代数式

化简可得：

接下来我们单独研究

要求M的最值，我们首先对M求导

令M’=0

通过单调性分析可知，当

时所求面积最小，也就是我们所求的直线是

这条直线不仅与抛物线相切，而且是所有切线中与坐标轴围成的面积最小，再回归到文章开头的那个问题，不难计算出下图的△DEF的面积约等于1.5396

这样我们就更进一步的逼近了我们要求的面积的上界，这个弓形的面积是在1到1.5396之间

纠结了这么长时间，我们一直在围绕着上界做文章，那我们能不能再精确一下取值范围的下界呢？那就要从内部的△ABC的面积入手

如下图，我们算出△ABC面积之后，可以在抛物线上任取一点D，再算△ADC的面积，这样△ABC和△ADC总的面积就会更逼近弓形面积，只要你有这个时间，你就可以无限的取三角形，从而无限的逼近最终的答案

这样的方法就是穷竭法，熟知数学史的朋友们应该知道刘徽的割圆术就是这个原理，而早在在公元前200多年，阿基米德就用他拿手的穷竭法用一系列三角形的和去逼近抛物线弓形的面积，这些三角形面积构成一个公比为1/4的等比数列，最后阿基米德用间接法论证了抛物线的面积就等于第一个三角形面积的4/3倍：这第一个三角形是以弓形的弦的两端为两个顶点，过弦的中点作抛物线对称轴的平行线，平行线和抛物线的交点就是第三个顶点

重要结论：如下图，任意抛物线，C是顶点，AB是垂直于对称轴的弦，则要无限与AB围成弓形的面积就是△ABC面积的4/3倍。

那么我们回归到本文开头的题目，答案就出来了，就是4/3≈1.33

 

可看得出来，我们张牙舞爪的算了半天，离我们的预期值还是差了16%的误差，还是差的比较多的。

 

因此阿基米德的证明方法简直就是穷竭法的典范，这为后来微积分的发现提供了必要条件，要知道微积分是在1700年左右由牛顿和莱布尼茨共同发明的。与阿基米德整整差了将近两个世纪！这里膜拜阿基米德一波，不愧是数学之神！

 

如果不用微积计算，即使在20世纪，解答弓形问题也不容易，即使给出提示以后，这个穷竭法的计算弓形的题也是一道很难的题目，这个题目曾经作为1965年我国的高考数学的压轴题。

最后附上用微积分的证明过程

因为抛物线平移的过程开口不变，因此我们将抛物线平移至原点处

大学篇

如图y=ax2和y=m交于AB两点，证明AB与抛物线围成的弓形面积是△AOB面积的4/3倍

通过我们以上的学习，相信不同年级的同学会有不同的收获

初中生学会了：逼近思想，抛物线切线求法

高中生学会了：利用导数求最值

大学生学会了：利用积分计算面积

而且所有人都记住了一个结论，就是4/3倍的关系。以后再遇到类似的题目相信大家会做的游刃有余。

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