中考数学分类讨论

第二轮复习之分类讨论

一、专题精讲

 

在数学中，我们常常需要根据研究对象性质的差异，分各种不同情况予以考查．这种分类思考的方法是一种重要的数学思想方法，同时也是一种解题策略．

 

分类是按照数学对象的相同点和差异点，将数学对象区分为不同种类的思想方法，掌握分类的方法，领会其实质，对于加深基础知识的理解．提高分析问题、解决问题的能力是十分重要的．正确的分类必须是周全的，既不重复、也不遗漏．

 

分类的原则：（1）分类中的每一部分是相互独立的；（2）一次分类按一个标准；（3）分类讨论应逐级进行．

 

二、几种常见的分类讨论类型

 

题型1　概念型的分类讨论

 

例题1：已知等腰三角形的一个内角为40°，则这个等腰三角形的顶角为（    ）。

A、40°     B、100°     C、40°或100°      D、70°或50°

变式训练1：

（1）已知等腰三角形的两边长分别为2和5，则它的周长为（　　）

A、12或9     B、12    C、9    D、7

（2）一次函数分别交轴、轴于A、B两点，在轴上取一点，使为等腰三角形，则这样的的点C最多有              个。

（3）已知⊙O₁和⊙O₂的半径分别为抛物线y=x²-7x+10与x轴两个交点的横坐标，且这两圆相切，则两圆的圆心距O₁O₂为（　　）

A.  3  B.  5    C.   7      D.   3或7

 

题型2　性质型分类讨论

 

例题2.已知是完全平方式，则的值是                 。

变式训练2：

（1）若函数，则当函数值时，自变量的值是（    ）

A.     B.  4     C. 或4    D. 或4

（2）给出下列四个函数：1；2；3；4.时，随的增大而减少的函数有（     ）

A. 1个    B. 2个    C. 3个     D.   4个

 

题型3　含参数型的分类讨论

 

例题3：在平面直角坐标系中，一次函数的图象与坐标轴围成的三角形，叫做此一次函数的坐标三角形、例如，图中的一次函数的图象与x，y轴分别交于点A，B，则△OAB为此函数的坐标三角形．
（1）求函数y= -34x+3的坐标三角形的三条边长；
（2）若函数y= -34x+b（b为常数）的坐标三角形周长为16，求此三角形面积．

变式训练3：已知抛物线y=x²-2（m+1）x+m²与x轴的两个交点的横坐标均为整数，且m＜5，则整数m的值为            。

 

题型4　综合型分类讨论

 

例题4：（2005?南京）如图，已知半圆O的直径DE=12cm，在△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=30°，BC=12cm，半圆O以2cm/s的速度从左向右运动，在运动过程中，点D、E始终在直线BC上．设运动时间为t（s），当t=0s时，半圆O在△ABC的左侧，OC=8cm．
（1）当t为何值时，△ABC的一边所在直线与半圆O所在的圆相切？
（2）当△ABC的一边所在直线与半圆O所在的圆相切时，如果半圆O与直线DE围成的区域与△ABC三边围成的区域有重叠部分，求重叠部分的面积．

 

变式训练4：抛物线与x轴交于A（-1，0）、B两点，与y轴交于点C（0，-3），抛物线顶点为M，连接AC并延长AC交抛物线对称轴于点Q，且点Q到x轴的距离为6．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）在抛物线上找一点D，使得DC与AC垂直，求出点D的坐标；
（3）抛物线对称轴上是否存在一点P，使得S_△PAM=3S_△ACM，若存在，求出P点坐标；若不存在，请说明理由．

 

三、同步训练

 

一、选择题（每题 3分，共 15分）

1．若等腰三角形的一个内角为50°则其他两个内角为（  ）

   A．50⁰ ，80^o       B．65⁰，  65⁰

  C．50⁰ ，65⁰             D．50⁰，80⁰或 65⁰，65⁰

2．若

   A．5或－1         B．－5或1;    C．5或1           D．－5或－1

3．等腰三角形的一边长为3cm，周长是13cm，那么这个等腰三角形的腰长是（  ）

    A．5cm     B.3cm     C．5cm或3cm    D．不确定

4．若⊙O的弦 AB所对的圆心角∠AOB=60°，则弦  AB所对的圆周角的度数为（   ）

   A．30⁰      B、60⁰     C．150⁰     D．30⁰或 150⁰

5．一次函数y=kx+b，当－3≤x≤l时，对应的y值为l≤y≤9， 则kb值为（   ）

A．14   B．－6  C．－4或21  D.－6或14

二、填空题（每题3分，共15分）

6．已知_______.

7．已知⊙O的半径为5cm，AB、CD是⊙O的弦，且  AB=8cm，CD=6cm，AB∥CD，则AB与CD之间的距离为__________.

8．矩形一个角的平分线分矩形一边为1cm和3 cm两部分，则这个矩形的面积为__________.

9．已知⊙O₁和⊙O₂相切于点P，半径分别为1cm和3cm．则⊙O₁和⊙O₂的圆心距为________.

10 若a、b在互为倒数，b、c互为相反数，m的绝对值为 1，则的值是______.

三、解答题（每题10分，共30分）

11 已知 y=kx＋3与两坐标轴围成的三角形的面积为 24，求其函数解析式．

 

 

12 解关于x的方程．

 

 

13 已知：如图所示，直线切⊙O于点C，AD为⊙O的任意一条直径，点B在直线上，且∠BAC=∠CA D(A D与AB不在一条直线上)，试判断四边形ABCO为怎样的特殊四边形？

 

 

四、同步跟踪巩固试题

 

（100分  60分钟）

一、选择题（每题4分，共20分）

1．已知等腰三角形的两边长分别为5和6，则这个三角形的周长是（   ）

  A．16   B．16或 17   C.17    D．17或 18

2．已知的值为（  ）

  

3．若值为（）

   A．2   B．－2   C．2或－2   D．2或－2或0

4．若直线与两坐标轴围成的三角形的面积是5，则b的值为（    ）

     

5．在同一坐标系中，正比例函数与反比例函数的图象的交点的个数是（  ）

  A．0个或2个  B．l个   C．2个    D．3个

二、填空题（每题4分，共24分）

6．已知点P（2，0），若x轴上的点Q到点P的距离等于2，则点Q的坐标为_________．

7．已知两圆内切，一个圆的半径是3，圆心距是2，那么另一个圆的半径是________．

8．等腰三角形的一个内角为70°，则其预角为______．

9．要把一张面值为10元的人民币换成零钱，现有足够的面值为2元、1元的人民币，那么有______种换法．

10 已知等腰三角形一腰上的中线将它的周长分为9和12两部分，则腰长为，底边长为_______．

11 矩形ABCD，AD=3，AB=2，则以矩形的一边所在直线为轴旋转一周所得到的圆柱的表面积为_____.

三、解答题（56分）

12．（8分）化简.

13．（9分）抛物线 与y轴交点到原点的距离为3，且过点（1，5）,求这个函数的解析式．

 

14．（13分）已知关于 x的方程.

⑴  当k为何值时，此方程有实数根；

⑵  若此方程的两实数根x₁，x₂满足，求k的值．

 

15．(13分)抛物线经过点A (1，0)．

⑴  求b的值；

⑵  设P为此抛物线的顶点，B（a，0）（a≠1）为抛物线上的一点，Q是坐标平面内的点．如果以A、B、P、Q为顶点的四边形为平行四边形，试求线段PQ的长．

 

16．（13分）已知矩形的长大于宽的2倍，周长为12，从它的一个顶点，作一条射线，将矩形分成一个三角形和一个梯形，且这条射线与矩形一边所成的角的正切值等于，设梯形的面积为S，梯形中较短的底的长为x，试写出梯形面积S关于x的函数关系式，并指出自变量x的取值范围．