第一节 微分中值定理
教学目的：理解并会用罗尔定理、拉格朗日中值定理，了解柯西中值定理和泰勒中值定理.
教学重点：罗尔定理、拉格朗日中值定理.
教学难点：罗尔定理、拉格朗日中值定理的应用.
教学内容：
定义 设函数
在
的某一邻域
内有定义, 如果对于去心邻域
内的任一
，有
（或
）, 则称
是函数的一个极大值（或极小值）.
函数的极大值与极小值统称为函数的极值, 使函数取得极值的点称为极值点.
函数的极大值和极小值概念是局部性的. 如果是函数
的一个极大值, 那只是就附近的一个局部范围来说.
导数等于零的点称为函数的驻点(或稳定点，临界点).
定理 （费马引理） 设函数在点的某邻域内有定义, 并且在处可导, 如果对任意, 有 (或), 那么.
证明：不妨设时，（若，可以类似地证明）.
于是对于,有, 从而当时,
; 而当时, ;
根据函数在处可导及极限的保号性的得
所以, 证毕.
一、罗尔定理
定理 （罗尔定理） 如果函数满足：（1）在闭区间上连续, （2）在开区间内可导, （3）在区间端点处的函数值相等，即, 那么在内至少在一点 , 使得函数在该点的导数等于零，即.
证明：由于在上连续，因此必有最大值M和最小值，于是有两种可能的情形：
（1），此时在上必然取相同的数值M，即
由此得因此，任取，有
（2），由于，所以M和至少与一个不等于在区间 端点处的函数值.不妨设(若,可类似证明),则必定在有一点使. 因此任取有, 从而由费马引理有. 证毕
几何意义：对于在上每一点都有不垂直于轴的切线，且两端点的连线与轴平行的不间断的曲线来说，至少存在一点C，使得其切线平行于轴.
二、拉格朗日（Lagrange）中值定理
定理 （拉格朗日中值定理） 如果函数满足（1）在闭区间上连续, （2）在开区间内可导, 那么在内至少有一点, 使得等式
成立.
分析与证明：弦AB的方程为 曲线减去弦AB，所得曲线AB两端点的函数值相等. 作辅助函数
于是满足罗尔定理的条件，则在 内至少存在一点，使得.
又, 所以
即在内至少有一点，使得.证毕
说明: 1. 又称为拉格朗日中值公式（简称拉氏公式）, 此公式对于也成立;
2．拉氏公式精确地表达了函数在一个区间上的增量与函数在这区间内某点处的导数之间的关系；当设在上连续, 在内可导时, 若 , 则有
当时, 也可写成
试与微分比较: 是函数增量的近似表达式, 而是函数增量的精确表达式. 所以拉格朗日中值公式又称为有限增量公式, 拉格朗日中值定理又称有限增量定理.
几何意义:
上述等式可变形为，等式右端为弦AB的斜率, 于是在区间上不间断且其上每一点都有不垂直于轴切线的曲线上，至少存在一点C，使得过C点的切线平行于弦AB. 当时，罗尔定理变为拉格朗日中值定理，即罗尔定理是拉格朗日中值定理的特例，而拉格朗日中值定理是罗尔定理的推广，下面用罗尔定理证明拉格朗日中值定理.
推论 若函数在区间I上导数恒为零，则在区间I上是一个常数.
例3-1 证明当时,
证明: 设, 则在上满足拉氏定理的条件,于是,又, 于是 ,而, 所以, 故,
从而 , 即
例3-2证明
证明：设,由于 , 所以,又 , 即.,
故.
三、柯西中值定理
定理 （柯西中值定理） 如果函数及在闭区间上连续,在开区间内可导,且在内每一点处均不为零，那末在内至少有一点,使等式成立
几何解释: 设曲线弧C由参数方程()表示, 其中为参数. 如果曲线C上除端点外处处具有不垂直于横轴的切线, 那么在曲线C上必有一点 , 使曲线上该点的切线平行于连结曲线端点的弦AB, 曲线C上点 处的切线的斜率为, 弦AB的斜率为. 于是, 即在曲线弧AB上至少有一点,在该点处的切线平行于弦AB.
证明: 作辅助函数
则满足罗尔定理的条件，于是在内至少存在一点，使得, 即, 所以.证毕
特别地 当时,
由 有
即, 故拉格朗日中值定理是柯西中值定理的特例，而柯西中值定理是拉格朗日中值定理的推广.
