勾股定理→求边长

勾股定理三大境界

（利用勾股定理求线段长）

【境界一】已知两边求第三边

 例：已知一直角三角形两边长为3和4，求第三边的长度？

【注】分两种情况讨论，记得考虑“谁是斜边？”

【境界二】已知一边找另外两边的关系

【注】解题步骤：审题→标注条件→设x表示线段长→确定三角形→根据勾股定理列方程.

【境界三】两个直角三角形共边或有相等边    

两个直角三角形共边:c²-a²=d²-b²

两个直角三角形有相等的边: d²-c²=a²+b²

例：如图，将边长为8cm的正方形ABCD折叠，使点D落在BC边的中点E处，点A落在F处，折痕为MN，则线段CN长是   ．

分析与解题步骤：

想求CN的长→CN在Rt△CEN中→根据题中知道CE=4，所以对应到“境界二”已知一边找另外两边的关系→设CN=x，则EN=8-x→确定在Rt△CEN中→利用勾股定理列关系式．

 

【变式】：求线段MF的长．

分析与解题步骤：

方法一：常规思路

想求MF的长→MF不在直角三角形中→考虑转化，MF=AM→添辅助线作MH⊥DC，构造直角三角形→MH=8，△CED≌△HNM（条件①∠MHN=∠C=90°；条件②MH=CD；条件③由于∠MND+∠NMH=90°=∠MND+∠EDC ，所以∠NMH=∠EDC），得MN=DE=4√5,所以对应到“境界一”，已知两边求第三边．

方法二：从折叠出发考虑折叠性质

想求MF的长→MF不在直角三角形中→考虑转化，MF=AM→添辅助线（根据折叠，思考折叠的性质）连接DM，ME，且DM=ME→两个相等的线段分别在直角三角形中，对应到“境界三”→设AM=x，BM=8-x→根据勾股定理列关系式8²+x²=（8-x）²+4²．

练习1：在△ABC中，a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边，且a=3，b=4，c为质数，求c的长．

练习2：已知直角三角形的两边长为5和12，则斜边上的中线长是__________．

练习3：在△ABC中，AB＝15，AC=13，高AD＝12，则△ABC的周长．

练习4：如图，将边长为8cm的正方形ABCD折叠，使点D落在AB边的中点E处，折痕为FH，点C落在Q处，EQ与BC交于点G，则△EBG的周长是______cm．

练习5：如图，在△ABC中，CE是AB边上的中线，CD⊥AB于D,AB=5,BC=4,AC=6,求DE的长．

【参考答案】

练习1：2或3

练习2：6或6.5

练习3：42或32

练习4：16

练习5：2